巴赫曼·卡兰塔里 半定规划与半定锥上的矩阵标度。 （英语） Zbl 1076.90043号 线性代数应用。 375, 221-243 (2003)。 摘要：设（E）是具有块对角形式的实对称矩阵的Hilbert空间，其中（A）是（n次n），（M）是一个对角矩阵，内积是（x，y次相等）。我们假设\（n+l\geq1\），即允许\（n=0）或\（l=0）。给定E\中的\（x\），如果它是半正定（正定），我们写\（x\suceq0\）\（x\suc0）\）。设（Q:E\ to E\）是对称半正定线性算子，且（mu=\min\{\phi（x）=0.5\，text{Trace}（xQx）：\|x\|=1，x\suckeq0\}\）。测试if（\mu=0）的问题是一个重要的问题，称为同构编程。一方面，半定规划中的可行性问题可以表示为齐次规划问题。另一方面，它与经典矩阵尺度问题的推广有关。设\（varepsilon\ in（0,1）\）为给定精度，\（u=Qe-e），\（e）\（e\）和\（N=N+l）中的单位矩阵。我们描述了一个路径允许算法，在情况\（mu=0）下，在\（O（\sqrt{N}\ln[N\|u\|/\epsilon]）中产生牛顿迭代矩阵\（d\suceq0，d\|=1\），使得\（\phi（d）\leq\epsilen\）。如果\（\mu>0），算法将在\（O（\sqrt{N}\ln[N\|u\|/\mu]+\ln\ln（1/\varepsilon））中生成一个矩阵（d\suck0），从而\（DQDe-e\|\leq\varepsilon），其中\（d\）是将\（w\在e\中）映射到\（d^{1/2}wd^{1/2}的运算符。此外，我们利用该算法证明了：（mu>0）当且仅当存在（d\suck0）使得（DQDe=e），后者成立当且仅如果存在（d\\suck0使得（Qd\succ0）。因此，通过这种对偶性，矩阵缩放问题是SDP中可行性问题的自然对偶。这种对偶性还意味着L.Blum和M.Shub和S.Smale公司[《美国数学学会公牛》，新第21辑，第1期，第1-46页（1989年；Zbl 0681.03020号)]为了测试矩阵标度的可解性，NP和Co-NP都很难。虽然上述复杂性可以从我们的路径允许算法中推导出来，用于一般自相关齐次规划和在[B.卡兰塔里，“有限维空间中的标度对偶和自协调齐次规划”，技术代表号dcs-tr-359，计算部。科学。，罗格斯大学，新泽西州新不伦瑞克，1999年，网址：http://www.dcis.rutgers.edu/pub/technical-reports]对于这里所考虑的问题，分析是非常初级、简短和完整的。这种简单性主要是由于本文导出的一个新不等式，该不等式将两次连续牛顿迭代的标度量范数联系起来，并暗示了二次收敛速度。该算法不仅是一种简单的路径跟踪算法，用于测试SDP中可行性问题的可解性，而且能够测试矩阵缩放问题的可解性。当\（n=0）时，该算法简化为对角矩阵缩放/线性规划算法L.G.哈奇扬和B.卡兰塔里[SIAM J.Optim.2，第4期，668–672（1992年；Zbl 0770.90043号)]。与LP的情况一样，本文的算法可以用于解决一般的SDP问题。 引用于三文件 MSC公司： 90C22型 半定规划 90C60型 数学规划问题的抽象计算复杂性 90摄氏51度 内部点方法 关键词：半定规划;矩阵缩放;牛顿法;内点法;半正定线性算子 引文：Zbl 0681.03020号;Zbl 0770.90043号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{B.Kalantari}，线性代数应用。375、221--243（2003年；Zbl 1076.90043） 全文： 内政部 参考文献： [1] Alizadeh，F.，半定规划中的内点方法及其在组合优化中的应用，SIAM J.Optim。，5, 13-51 (1995) ·Zbl 0833.90087号 [2] Alizadeh，F。；海伯里，J.-P。；Overton，M.，半定规划的原对偶内点方法，SIAM J.Optim。，8, 746-768 (1998) ·Zbl 0911.65047号 [3] 布鲁姆，L。；舒布，M。；Smale，S.，《实数的计算和复杂性理论：NP-完备性、递归函数和通用机器》，布尔。AMS，21，1-46（1989）·Zbl 0681.03020号 [4] 德克勒克，E。；Roos，C。；Terlaky，T.，通过自对偶不对称嵌入在半定规划中的初始化，Operat。Res.Lett.公司。，20, 213-221 (1997) ·Zbl 0881.90096号 [5] Faraut，J。；Koranyi，A.，《对称圆锥的分析》（1994），牛津大学出版社：牛津大学出版社，纽约·Zbl 0841.4302号 [6] Güler，O.，内点法中的屏障函数，数学。操作。决议，21860-885（1996）·Zbl 0867.90090号 [7] Kalantari，B.，二次规划的标准问题及其求解的投影方法，（Lagarias，J.C.；Todd，M.，AMS会议论文集“线性规划引起的数学问题”，1988年。AMS会议记录“线性规划引起的数学问题”，1988年，《当代数学》，第114卷（1990年），243-263·兹比尔0725.90074 [9] Kalantari，B.，多齐次函数的一个替代定理及其与矩阵对角缩放的关系，线性代数应用。，236, 1-24 (1996) ·Zbl 0846.15003号 [11] 卡兰塔里，B。；Emamy-K，M.R.，《关于代数数上的线性规划和矩阵缩放》，《线性代数应用》。，262, 283-306 (1997) ·Zbl 0885.90079号 [12] Karmarkar，N.，线性规划的新多项式时间算法，组合数学，4373-395（1984）·Zbl 0557.90065号 [13] Khachiyan，L。；Kalantari，B.，对角线矩阵缩放和线性规划，SIAM J.Optim。，4, 668-672 (1992) ·Zbl 0770.90043号 [14] 马歇尔，A.W。；Olkin，I.，矩阵缩放以实现指定的行和列总和，Numer。数学。，12, 83-90 (1968) ·Zbl 0165.17401号 [15] 内斯特罗夫，Y。；Nemirovskii，A.S.，凸规划中的内点多项式算法（1994），SIAM:SIAM Philadelphia，PA·Zbl 0824.90112号 [16] Nesterov，Y.E。；Todd，M.J.，凸规划的自缩放障碍和内点方法，数学。运营商。决议，22，1-42（1997）·Zbl 0871.90064号 [17] O’Leary，D.P.，将对称正定矩阵缩放为规定的行和，线性代数应用。，370185-191（2003年）·Zbl 1038.65040号 [18] 猪肉，L。；Khachiyan，L.，《关于半定规划的复杂性》，J.Global Optim。，10, 351-365 (1997) ·Zbl 0881.90127号 [19] Ramana，M.V.，半定规划的精确对偶理论及其复杂性含义，数学。编程，77，序列号。B、 129-162（1997）·兹伯利0890.90144 [20] 范登伯格，L。；Boyd，S.，半定规划，SIAM Rev.，38，49-95（1996）·Zbl 0845.65023号 [21] Wolkowicz，H。；Saigal，R。；Vandenberghe，L.，《半定规划手册：理论、算法和应用》（2000），Kluwer学术出版社：Kluwer-学术出版社，马萨诸塞州波士顿·Zbl 0962.90001号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。