詹姆斯·科格德尔（James W.Cogdell）。;亨利·H·金。;M.Ram Murty先生 关于自守函数的讲座。 （英语） Zbl 1066.11021号 菲尔德研究所专著20.普罗维登斯，RI：美国数学学会（AMS）（ISBN 0-8218-3516-5/hbk）。xii，283页。(2004). 这本书由三篇主题相同的论文组成。从20世纪60年代开始。Langlands提出了一套关于自同构形式的一般理论的想法，现在以他的名字为人所知，还有一些其他的想法。这个复合体的中心概念是“功能性”。这表明自守表示集具有丰富的内部结构。这个理论本质上更像是分析或表示理论，而不是算术，尽管它的一个方面，即基数变化，本质上是算术。另一个复杂的想法，现在与兰兰兹的名字有关，但不太准确，是定义在数字域（或算术类型的函数域）上的代数簇的“算术”上同调应该分裂成原子成分（动机），这些成分本身应该与自同构形式相关联。这些问题本质上更具算术性，就目前而言，它们的答案取决于经典复数乘法理论（Shimura变种）的深远扩展。研究函数性有两种方法，即（L）-函数方法和Selberg迹公式。他们之间弥漫着某种竞争气氛。事实证明，这两种方法的技术要求都很高。在进一步讨论之前，人们可以问，如果证明了功能性，会有什么直接后果。撇开基变换问题，即最算术方面的问题不谈，主要应用是证明广义Ramanujan猜想及其阿基米德类比、（广义）Selberg猜想和关于Hecke算子特征值分布的某些结果（Sato-Tate型猜想）。就这些吗？不完全是。主要的希望，也是唯一的希望，是在正确理解了函数性之后，可以在一定程度上对算术问题进行一般性研究，从而更好地理解各种算术。这是一种长远的思考，就像在100年后成熟的花园里种树一样。正在审查的这本书由三篇论文组成。第一篇由J.W.Cogdell撰写，题为“关于GL（n）函数、逆定理和函数性的讲座”。逆定理理论，首先由I.I。Piatetski-Shapiro是利用L函数研究函数性的基本工具。这些定理允许我们从L函数传递到一般线性群的自守表示。在这里，科格德尔对当前技术进行了概述。当然，还必须掌握建立相关L函数的分析性质的技术。其中一种方法是欧拉子群方法，也是由Piatetski-Shapiro提出的，其目的是构造Rankin–Selberg积分的推广，该积分也具有欧拉积结构。Cogdell概述了这种方法，并指出如何将其应用于研究经典组中的某些“提升”。这些应用程序可用于研究Ramanujan和Selberg猜想。有一种确定（L）-级数解析性质的单独方法；这是Langlands首次使用的，由F.Shahidi开发，最近与H.Kim合作开发。这包括使用尽可能多的艾森斯坦级数理论中的信息；分析性质遵循艾森斯坦级数的分析性质。在第二篇论文《自守（L）函数》一书中，Kim详细描述了该方法的工作原理，并将其与逆定理相结合，用于证明GL（2）自守表示的“对称立方体”和“对称四次幂”的函数性。M.Ram Murty的最后一篇论文“对称幂（L）函数的应用”描述了如何使用其他两篇论文的结果来研究经典和Maaß模块化形式。本文的第一部分致力于研究这种形式的傅里叶系数的性质，例如，各种值在Ramanujan猜想允许的范围内的假定程度。由于对称幂的结果可以被视为佐藤-塔特猜想证明的组成部分，因此部分结果导致了部分但有趣的结果。其中之一是P.Sarnak的一个精妙观察，即如果Sato-Tate猜想的合理近似成立，那么Maaß的系数形式不能是整数；由此，他推导出GL（2）在具有积分系数的数域上的自守表示实际上是具有可解图像的Galois表示的Artin（L）函数。讨论的其他主题是对GL（n）的Selberg和Ramanujan猜想的近似，目前最佳估计是由于H.Kim和P.Sarnak以及Artin（L）函数理论的应用。这本书对现代数论的一个重要组成部分进行了一次激动人心的调查，近年来，现代数论取得了一些令人瞩目的进展。审核人：塞缪尔·詹姆斯·帕特森（哥廷根） 引用于2评论引用于45文件 MSC公司： 11楼70 表征理论方法；局部域和全局域上的自守表示 11-02 与数论有关的研究综述（专著、调查文章） 22E55型 整体域和adèle环上Lie和线性代数群的表示 11楼30 自同构形式的傅立叶系数 11楼66 Langlands\（L\）-函数；单变量Dirichlet级数与函数方程 11兰特39 Langlands-Weil猜想、非贝拉类场理论 11个37 Langlands-Weil猜想、非贝拉类场理论 关键词：朗兰兹函数性;自形形式;\（L\）-函数;逆定理;Euler子群;艾森斯坦级数;拉马努扬猜想;塞尔伯格猜想;佐藤-泰特分配;Artin\（L\）-函数;对称功率 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.W.Cogdell}等人，自守函数讲座。普罗维登斯，RI:美国数学学会（AMS）（2004；Zbl 1066.11021）