罗兰·奥尔;顶部，Jaap 一些具有多个点的亏格3曲线。 （英语） Zbl 1058.11039号 Fieker，Claus（编辑）等人，《算法数论》。第五届国际研讨会，ANTS-V，澳大利亚悉尼，2002年7月7-12日。诉讼程序。柏林：施普林格出版社（ISBN 3-540-43863-7）。莱克特。注释计算。科学。第2369163-171页（2002年）。 在本文中，作者使用一种初等方法来寻找接近\（N_q（3）\）的值。让我们回忆一下，（N_q（g））被定义为有限域上亏格（g）的光滑几何不可约和投影曲线的最大点数{F} （_q）\). 他们的想法是研究定义为\[C_｛\lambda｝：x ^4+y ^4+z ^4=（\lambda+1）（x ^2 y ^2+y ^2 z ^2+z ^2 x ^2）\]在特征（p）不同于（2）和（lambda）的有限域上。这些曲线的雅可比数在乘积上是等积的\[E_｛\lambda｝^｛（\lambda+3）｝\次E_｛\lambda｝^｛（\lambda+3）｝\次E_｛\lambda｝^｛（\lambda+3）｝\]其中，\（E_{\lambda}^{（\lambda+3）}\）表示椭圆曲线\（（\lampda+3）y^2=x（x-1）（x-\lambda）\）。因此，必须查找\（lambda\）的值，其中\（|E_{\lambda}^{（\lambda+3）}（k）|\）是最大的。作者研究了Legendre形式的椭圆曲线及其与点数的关系（另请参见R.奥尔和J.顶部[J.数论95，303–312（2002；Zbl 1081.11044号)]). 当\（p=3\）\（E_{\lambda}^{（\lambda+3）}\）同构于\（k\）上的勒让德形式的曲线时，它们得到：主张。对于每个不等式\[3^n+1+3[2\sqrt{3^n}]-n_{3^n}（3）\leq\begin{cases}0&\text{if}\；n等于2\pmod 4；\\12&\text{if}\；n\equiv 0\pmod 4；\\21&\text{if}\；n等于1\pmod 2；\结束{cases}\]持有。至少在特征中，人们只知道（E_{lambda}^{（lambda+3）}）是勒让德曲线的二次扭曲，因此他们得到：主张。假设（q）是素数的幂（p>3）和（m=[2\sqrt{q}]\）。超过\（\mathbb{F} （_q）\)存在一条曲线（C_{lambda}），使得{F} （_q）)|\geq q+1+3m-21\）或\（|C_{\lambda}（\mathbb{F} （_q）)|\leq q+1-3m+21\）。然而，请注意，通过以下方法获得了类似的结果K.Lauter公司和J.-P.塞雷《数学写作》134，87–111（2002；Zbl 1031.11038号)]将\（21）替换为\（3）。还要注意的是，在特殊情况下，其中\（p\equiv3\pmod4\），\（n\）是奇数，\（q=p^{2n}\）则费马四次型\（C_{-1}\）达到Hasse-Weil-Serre界，因此\（n_q（3）=q+1+6p^n\）。关于整个系列，请参见[Zbl 0992.00024号].审核人：Christophe Ritzenthaler（马赛） 引用于5文件 理学硕士： 11G20峰会 有限域和局部域上的曲线 关键词：曲线;属三;许多点;有限域 引文：Zbl 1031.11038号;Zbl 1081.11044号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{R.Auer}和\textit{J.Top}，Lect。注释计算。科学。2369163--171（2002年；Zbl 1058.11039） 全文： arXiv公司 链接 整数序列在线百科全书： 有限域GF（q）上亏格3的（光滑的，几何不可约的）曲线可以具有的最大有理点数，其中q是n阶素数幂>=2。