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史蒂文·贝尔。

复杂分析的复杂性。 （英语） Zbl 1051.30014号

高级数学。 172，第1期，15-52（2002）.
作者已经在[J.Anal.Math.78，329-344（1999；Zbl 0934.30005号)]复数平面中任意（n-）连通域（Omega）的Bergman核，如果没有边界分量是一个点，那么它可以被写成三个全纯函数的有理组合\[K（z，w）=A（z）\overline｛A（w）｝R（G_1（z），G_2（z），\overline｛G_1（w）｝，\overline｛G_2（w）｝），\]其中，\（A\）、\（G_1\）和\（G_2）是一个变量的全纯函数，\（R\）是四个变量的有理函数。Szegő内核的平方（S（z，w）^2）也有类似的表示。我们说，在上述函数（a）减少为常数的情况下，这些核表示为两个全纯函数的有理组合。第一个结果描述了这个性质：当（Omega）是单连通的，Bergman（或等价的Szeg）核可以写成两个全纯函数的有理组合，当且仅当从（Omega\）到圆盘的Riemann映射及其导数是代数相关的。在（n-）连通域（Omega）的一般情况下，当且仅当满足若干等价条件时，才会发生这种情况，特别是：（i）存在一个从（Omega\）到单位圆盘的单一真全纯映射（f），使得（f）和（f’）在代数上相关（或任何这样的映射验证了这个性质）；（ii）域（Omega）可以实现为紧致Riemann曲面（X）的子域，使得Bergman核和Szeg核作为单值亚纯函数扩展到（X乘以X）（这意味着它们可以表示为\（Omega\）上任意两个函数的有理组合，扩展成\（X）上的本原对）。然后，作者通过定义一个类\（\mathcal a\）来广泛扩展可以组合产生标准核的函数类，该类由许多正则函数的线性组合组成，包括\（\Omega\）中固定极点的格林函数的导数和形式为\（s（z，a_1）s（z，a_2）的乘积\)其中，（a1）和（a2）是（Omega）中的点，正则函数是某些调和测度函数的复导数。要获得上述表示，将（a\in\mathcal a\）和（G_1，G_2）作为亚纯函数扩展到（X\），即（Omega）的二重数，就足以在该Riemann曲面上形成本原对。此外，从（Omega）到单位圆盘的任何适当全纯映射都可以写成（G_1，G_2）的有理组合。给出了类（mathcal A\）中函数的许多例子，特别是，如果（Omega）如上所述，则其Bergman核（K（z，w）可以表示为三个函数（i）\（K（z，A_1）\），\（K（z，A_2）\）、\（K z，A_1），（G_z（z，A_2）），\（G_z（z，A_3）\），其中\（A_1\），\（A_2\），\（A_3\）是\（\Omega\）中的三个不动点，\（G_z\）表示格林函数\（G（z，w）\）的\（z-\）导数。Szegő内核也有类似的结果。最后，在（Omega）的边界由有限多条光滑曲线组成的情况下，给出了一个定理，关于Szeg核（两个复变量的函数）的表示是从（Omega\）到单位圆盘的适当全纯映射和Szegö核（S（z，a_j）的有限个（z-）导数的合理组合\)和（S（w，a_j））表示有限点集（a_j\in\Omega）（一个复变量的函数）。证据建立在作者在专著中开发的方法之上[S.贝尔，“柯西变换、势理论和保角映射”，CRC出版社，佛罗里达州博卡拉顿，1992年]和一系列先前的论文[杜克数学杂志98，第1期，187-207（1999；Zbl 0948.30015号); J.Reine Angew。数学。525, 1–16 (2000;Zbl 0959.30002号); J.分析。数学。78, 329–344 (1999;Zbl 0934.30005号); 休斯顿J.数学。26，第2期，277–297（2000年；Zbl 0981.30007号)]关于这类问题，添加（除其他外）一些新的代数成分，以提供这一非常一般和完整的情况。
审核人：帕斯卡·托马斯（图卢兹）

引用于7文件

理学硕士：

30立方厘米 一个复变量的核函数及其应用
10层30 紧致黎曼曲面与均匀化
30C25型 保角映射理论中的覆盖定理

关键词：

伯格曼核;Szegő内核;Ahlfors地图;Garabedian内核;格林函数;本原亚纯函数对

引文：

Zbl 0934.30005号;Zbl 0948.30015号;Zbl 0959.30002号;Zbl 0981.30007号
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\textit{S.R.Bell}，高级数学。172，编号1，15--52（2002；Zbl 1051.30014）
全文： 内政部 arXiv公司

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