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A.科科托夫。;科洛特金，D。

Hurwitz空间上的Tau-functions。 （英语） 兹比尔1049.32019

数学。物理学。分析。地理。 7，第1期，47-96（2004）.
作者考虑了Hurwitz空间（H_{g，N}（1，dots，1））（Riemann曲面上的亚纯函数空间，或者相同的Riemann-球面（mathbb P^1）的分支覆盖空间）和Hurwistz空间的覆盖上的（平坦）全纯线丛。这些束的协变常数截面（称为τ函数）是本研究的主要对象。设（v（P））是H{1，N}（1，dots，1）中椭圆覆盖上的全纯（不一定正规化）微分。引入符号\（f_m\equiv f_m（0）\），\（h_k=h_k（0）），其中\（v（P）=f_m\（zeta=1/\lambda），其中\（\lambda\）是点\（P\ in \mathcal L\）到\（\mathbb P^1）的投影坐标。然后，通过以下公式给出了（H_{g，N}（1，点，1））上的Wirtierτ函数\[\tau_W={\left\{\prod_{k=1}^Nh_k\right\}^{1/6}}\！\！\左/{\left\{\prod_{m=1}^Mf_m\right\}^{1/12}}\right。。\]属0，1中的结果来自于对适当正则化的狄利克雷积分（｛\mathbf S｝=1/2\pi\int_\mathcal L|\phi_\lambda|^2）的研究，其中\（e^\phi|d\lambda|^2）是通过在普适覆盖\（\overline｛\mathcal L｝\）上向下投影标准度量\（|dz|^2）而获得的\（\mathcal L\）上的平坦度量。关于分支点的\（｛\mathbf S｝\）的导数通过分支点处的Schwarzian连接的值来表示；这揭示了（{mathbf S}）与τ函数模的密切联系。另一方面，积分（{mathbf S}）允许通过分支点附近平坦度量的渐近性和覆盖片的无穷大进行显式计算。此外，它还允许“全纯因子分解”，即它可以显式表示为某些全纯函数的模平方，它允许人们计算τ函数本身。同样的工具（除了显式全纯因子分解）也适用于更高亏格的情况，当两种等价的方法都可能时。一种是利用曲面（mathcal L）的Fuchsian均匀化和（mathcar L）上Laplacian的行列式。设（{mathbf S}{text{Fuchs}}）是正则化的Liouville作用，对应于（mathcal L）上的常曲率度量（-1。然后覆盖层（mathcal L）的Bergmann和Wirtierτ函数的模平方表示如下：\[|\tau_B|^2=e^{-{mathbf S}_{text{Fuchs}}/6}\frac{\det\Delta}{\det{\mathbf B}\，\text{Im}}，\]
\[|\tau_W|^2={\mathbf S}e^{-_{text{Fuchs}}/6}\frac{\det\Delta}{\det{\mathbf B}\，\text{Im}}\prod_{\beta\，\，\text{even}}|\Theta[\beta]（0|{\mathpf B}）|^{-2/（4^{g-1}+2^{g-2}）}。\]另一种方法使用Schottky均匀化和Cauchy-Riemann算子的全纯行列式作用于（mathcal L）上的平凡线丛。然后\[|\tau_B|^2=e^{-{\mathbf S}_{\text{Schottky}}/6}|\det{\overline\partial}|^2，\]
\[|\tau_W|^2=e^{-{\mathbf S}_{\text{Schottky}}/6}|\det{\overline\partial}|^2\prod_{beta\，\，\text{even}}|\Theta[\beta]（0|{mathbf B}）|^{-2/（4^{g-1}+2^{g-2}）}。\]
审核人：瓦西里·切尔内基（敖德萨）

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MSC公司：

32国集团15 黎曼曲面的模，Teichmüller理论（多变量的复杂分析方面）
10层30 紧致黎曼曲面与均匀化
30楼30 黎曼曲面上的微分

关键词：

Bergmann和Wirtier射影连接;Hurwitz空间上的全纯线丛;Witter双微分;黎曼-希尔伯特问题;变分公式;分支点;伯格曼核;协变常截面;分支覆盖的Bergmann和Wirtierτ-函数;全纯因子分解;全纯微分;椭圆覆盖;Schwarzian连接;Schottky和Fuchsian均匀化;常曲率度量\（-1\）;正则Dirichlet积分;正规的刘维尔行动;τ函数的模平方;黎曼曲面的平坦度量;二重有理覆盖的tau函数;等单峰形变
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\textit{A.Kokotov}和\textit{D.Korotkin}，数学。物理学。分析。地理。7，第1号，47--96（2004；Zbl 1049.32019）
全文： 内政部 arXiv公司