瓦辛，V.V。;莫克鲁辛，A.A。 不适定算子方程的Gauss-Newton型迭代过程。 （英语。俄文原件） Zbl 1045.65049号 多克。数学。 61，第2286-288号（2000年）; Dokl翻译。阿卡德。恶心，罗斯。阿卡德。Nauk 371，第1期，35-37（2000年）。 引言：许多不适定反问题可以用算子方程的形式描述\[A（x）=y\标签{1}\]在一对Hilbert空间（X，Y）上，其中（a）是具有间断逆（a^{-1}）的Fréchet可微非线性算子。所谓的Levenberg-Marquard方法（MLM）\[x^{k+1}=x^k-\bigl[A'（x^k）^*A'（x^k）+\alpha_kI\bigr]^{-1}甲'（x^k）^*\bigl（A（x^k）-y\bigr）\]基于变分原理。在该方法中，通过求解优化问题找到了（x^{k+1}）\[\最小值\biggl\{\bigl\|A（x^k）+A'（x^k）（x-x^k”）-y\bigr\|^2+\alpha_k\|x-x^k\|^2:x\在x\biggr\}中。\]研究了满足条件的算子（A）的MLM和正则停止规则（根据差异原理）的收敛性\[\bigl \|A（x）-A（\widetilde x）-A'（x）（x-\widetelde x）\bigr \|\leq c\bigl \ |A（x）-A。\标记{2}\]证明了条件（2）适用于求解某些偏微分方程的逆（系数）问题时出现的算子方程。然而，简单的例子表明，对于由第一类非线性Fredholm和Volterra积分方程描述的本质不适定问题，条件（2）是不自然的。让我们引入一个额外的参数（β）并考虑修改的Levenberg-Marquardt方法（MMLM）\[x^{k+1}=x^k-\beta\bigl[A'（x^k）^*A'（x^k）+\alpha_kI\bigr]^{-1}\times A'。\标记{3}\]本文研究了一个算子（a\）满足以下弱于（2）的常数为（alpha_k=\alpha>0）的过程（3）的收敛性：\[\bigl\|S（x）\bigr\|^2\leq\kappa\bigl\langle S（x；\对于S_\rho（z）中的所有x\，标记{4}\]其中，\（S（x）=A'（x）^*（A（x）-y）\），\（kappa）是一个正常数，\（z）是方程（1）的解。条件（4）确保迭代（3）以及梯度方法的弱收敛性。使用（3）中的步进算子（T）与投影到先验包含解的有界紧集（Q）上的算子的叠加，可以实现强收敛并建立迭代的正则性。 MSC公司： 65J15年 非线性算子方程的数值解 65J20型 抽象空间中不适定问题的数值解；正规化 47J06型 非线性不适定问题 关键词：高斯-纽顿型方法;正规化;问题;希尔伯特空间;Fréchet可微非线性算子;间断逆;汇聚;差异原则;改进的Levenberg-Marquardt方法 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{V.Vasin}和\textit{A.A.Mokrushin}，Dokl。数学。61，第2号，第35-37条（2000；Zbl 1045.65049）；Dokl翻译。阿卡德。恶心，罗斯。阿卡德。Nauk 371，No.1，35--37（2000）