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哈维尔·查瓦里加;赫克托·贾科米尼;杰姆·吉内;尧姆·利布雷

Darboux可积性和逆积分因子。 （英语） Zbl 1043.34001号

J.差异。方程 194，第1期，116-139（2003）.
考虑平面（实或复）多项式向量场（X=P（X，y）\partial_X+Q（X，y）\parcial_y\）具有如下形式的Darboux第一积分\[H=f1^{\lambda_1}\cdots f_p^{\lambda_p}\左（\exp\left（{H_1}\ over{g_1}\ right）\right），\]其中，\（fi，g_i）和\（h_i）是多项式，\（lambda_i）与\（mu_i）则是复数。回想一下，给定平面微分方程的第一个积分（F）反积分因子由\（V_F=-P/（\偏F/\偏y）=Q/（\部分F/\部分x）给出作者证明了在一些附加的假设下，（H，）（V{log（H）}）是向量场的有理逆积分因子。他们还研究了确保微分方程具有多项式逆积分因子的条件。
本文使用了两个很好的工具：显著的价值关于有理第一积分，这是庞加莱已经引入的概念，以及第n条静态曲线，\({电子}_{n} （X），与平面向量场（X，）相关，该平面向量场已经出现在俄罗斯数学家M.n.Lagutinskii（1871-1915）的工作中。让我们回忆一下：给定（H=f/g，）（X）的有理第一积分，如果（f+cg）是复多项式空间中的可约多项式，则复数（c）（或无穷大）是（H）的显著值。这里，如果\（c=\infty\），则\（f+cg\）表示\（g\）。n次静态曲线如下所示\[E_{n}（X）=\det\left（开始{矩阵}v_1&v_2&\cdots&v_l\\X（v_1）&X（v_2）&\cdot&X（v_l）\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\X^{l-1}，\]其中，\（v_1，v_2，\ldots，v_l）是复多项式向量空间的任意基，最多为\（n，\）次（因此，\（l=（n+1）（n+2）/2\），\（x^0（v_i）=v_i \）和\（x_j（v_i=x^{j-1}（x（v_i.）））。可以看出，上述定义并不取决于所选的特定基础。有趣的结果是，对于平面向量场（X，）（E_n（X）等于0）和（E_{n-1}（X）不等于0），当且仅当（X）允许精确度的有理第一积分。
审核人：Armengol Gasull（巴塞罗那贝拉特拉）

引用于1审查
引用于66文件

MSC公司：

34A05型 常微分方程的显式解，第一积分
34立方厘米05 积分曲线、奇点、常微分方程极限环的拓扑结构
37立方厘米 流和半流诱导的动力学

关键词：

达布可积性;反积分因子;有理第一积分;显著的价值;多项式第一积分;狂喜曲线
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\textit{J.Chavarriga}等人，J.Differ。方程式194，No.1，116--139（2003；Zbl 1043.34001）
全文： 内政部

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