埃利·格拉斯纳 通过连接的遍历理论。 （英语） Zbl 1038.37002号 数学调查和专著101.普罗维登斯，RI：美国数学学会（AMS）（ISBN 0-8218-3372-3/hbk）。xi，第384页。(2003). 加入遍历理论的思想是从弗斯滕贝格、奥恩斯坦和鲁道夫的工作发展而来的，并被鲁道夫纳入了遍历理论主流。这是第一本从连接的角度研究遍历理论的书之一，尽管这是一本早期的D.J.鲁道夫[可测动力学基础。勒贝格空间的遍历理论，牛津科学出版社。牛津：克拉伦登出版社（1990；Zbl 0718.28008号)]也处理了连接，本书的一些章节受到了早期书籍的启发，特别是关于伯努利位移的同构理论。给定两个动力系统（{mathcal X}=（X，{mathcal-F}，\mu，T）和（{mathcal Y}=（Y，{mathcal-B}，\ nu，S））（因此（（X，[mathcal_F}，\su））是勒贝格概率空间，（T:X\ to X\）是保测度变换，类似于（（Y，[mathcal/B}，\nu）\）和\（{\mathcal Y}\）是在\（{mathcal F}\ otimes{mathcall B}\）上定义的度量值\（\lambda\），它是\（T\次S\）不变量，其边距为\（\mu\）和\（\nu\）（即，\（\lambda（a\次Y）=\mu（a））和\。如果存在一个具有性质\（pi（mu）=nu\）和\（T\circ\pi=\pi\circ S\）的可测映射\（pi:X\to Y\），则称动力系统\（{mathcal Y}\）为\（{mathcal X}\）的因子。（{mathcal X}）和（{mathcal Y}）的一个公共因子是第三个系统（{matchal Z}），它是两者的因子。Furstenberg为\（{mathcal X}\）和\（{mathcal Y}\）定义了不相交的概念。这相当于产品系统（{mathcal X}\otimes{mathcalY}）（即，（lambda=mu\times\nu））是唯一的连接。他问，没有公共因子的（{mathcal X}）和不相交的（{mathcal Y}）是否等价。鲁道夫使用了一类他证明具有“最小自连接”的例子（即，（T）与其自身的唯一遍历连接是（mu times mu），而那些由T的幂产生的遍历连接），给出了没有公共因子的遍历变换的例子，而不是不相交的。这导致人们认识到，连接是回答开放性问题和阐明理论的有用工具。Burton和Rothstein用连接来证明Ornstein的同构定理。Lemańcyk给出了Halmos von Neumann离散谱定理的一个新的证明。Host能够使用连接来表明具有奇异谱的混合变换是所有阶的混合。连接甚至可以应用于遍历理论的光谱方面的问题（参见评论员的调查文章[J.Dyn.Control Syst.5，173-226（1999；Zbl 0987.37004号)]在这方面）。正在审查的这本书涵盖了遍历理论中连接使用的许多方面。本书第一部分中的结果对于一般的群体行动具有相当大的概括性。根据与动力系统相关联的Koopman幺正表示给出了基本定义。这使得遍历理论的初学者很难理解课文，因为他们可能会觉得更适合阅读P.沃尔特斯【遍历理论导论，《数学研究生论文》，第79卷。纽约等：Springer-Verlag（1982；Zbl 0475.28009号)]或K.彼得森【遍历理论，剑桥高等数学研究，2。剑桥等：剑桥大学出版社（1983；Zbl 0507.28010号)]。该主题的许多标准结果（在前几章中）都属于练习。这使作者能够涵盖大量具有高度概括性的材料。这本书强调了拓扑动力学和遍历理论的结果之间的类比。这是一本很好的书，适合已经完成遍历理论第一门课程的人，也适合希望了解更多关于连接的遍历理论专家。内容：第一章：拓扑动力学，包括弗斯滕贝格的远端结构定理和范德华登定理。第二章：Lebesgue概率空间上动力系统的一般方面，包括Poincaré递推定理。第三章：动力系统的遍历性和混合性。虽然这些结果中有一些结果的连接证明是可用的，但本章不使用连接。结果通常使用酉表示进行证明。定义了Koopman表示（保测度作用产生酉表示的思想），给出了遍历分解定理和Rohlin的斜积定理。第四章：利用酉表示定义遍历性和混合/弱混合，并将常用的定义作为定理推导出来。证明了点态遍历定理，研究了（K）-自同构和高斯自同构。第四章：研究测地线流和水平环流的不变测度和唯一遍历性，定义了E系统。第5章：简要介绍保测度变换的谱理论。本章主要局限于（mathbb{Z}）-动作，尽管其中讨论了不可约表示。第六章：在本章中，我们第一次遇到了连接。除了通常的定义外，还给出了一个等价的算子理论定义：对应于（{mathcal X}）和（{mathcal Y}）的连接（lambda）是一个马尔可夫算子（P_lambda:L^2（X，mu）到L^2的（Y，nu）），它交织了（{matchcal X}，）和（[{mathcalY}，]上的动作。在方便的时候使用这种不同的方法。定义了图连接、因子连接和相对独立的连接，给出了Veech关于群扩张的连接刻画，并将其推广到等距扩张。本章介绍并研究了不相交性。第7章：连接的应用包括Lemaáczyk利用连接证明Halmos-von-Neumann离散谱定理，所有阶的horcycle流的混合，以及对α-弱混合的研究。第8章：研究了因子和拟因子，以及Finetti-Hewitt-Savage定理的证明。第九章：本章详细研究了等距扩张和弱混合扩张的概念。第十章：证明了Furstenberg-Zimmer结构定理，讨论了Furstenberg的多重递推定理及其在推广Szemeredi定理中的应用。第十一章：给出了关于两两独立连接的Host定理的证明及其在证明具有奇异谱的混合系统是所有阶的混合时的应用。第十二章：简单的系统是那些只有明显的自连接的系统（扶正器不一定是微不足道的）。这里，我们证明了，对于弱混合的（mathbb{Z}）-系统，三阶的简单性意味着所有阶的简单，而刚性与二阶的简洁性一起意味着所有的阶的简单。第十三章：研究了Kazhdan的性质（T），Bekka和Valetta的一个定理，以及某些测度空间的几何。第十四章：定义了拓扑熵和测度论熵，并研究了它们的性质。给出了拓扑熵的Adler、Konheim和McAndrew以及Bowen定义。证明了Kolmogorov-Sinai和Shannon-McMilllan-Breiman定理。关于熵理论的章节主要限于（mathbb{Z}）-作用。第15章：给出了符号表示、卡库塔尼塔和罗林塔以及由维斯导出的杰韦特·克里格定理的推广。第16章：定义了秩一系统，证明了该系统具有简单谱的遍历性，并将其用于构造Chacon变换和（α）-弱混合变换。第17章：证明了给出测度论和拓扑熵之间关系的Goodwyn-Goodman-Dinaburg定理（拓扑熵是测度论熵的上确界——变分原理）。这适用于膨胀动力系统。第十八章：研究了零熵系统和正熵系统之间的二分法。定义了Pinsker代数，证明了Rohlin-Sinai定理。第19章：研究了拓扑熵对和测度熵对的概念。考虑了拓扑动力学结果和遍历理论结果之间的二分法问题。第20章：使用伯顿和罗斯坦的思想证明了克里格和奥恩斯坦的定理，鲁道夫在其关于可测动力学的文本中使这两个定理连贯一致。审核人：杰弗里·古德森（汤森） 引用于三评论引用于334文件 MSC公司： 37-02 关于动力学系统和遍历理论的研究综述（专著、调查文章） 37甲15 一般保测度变换群与动力系统 37A25型 遍历性、混合、混合速率 37A35型 熵和其他不变量、同构、遍历理论中的分类 37A45型 遍历理论与数论和调和分析的关系（MSC2010） 37B99型 拓扑动力学 28日xx 测量理论遍历理论 54H20个 拓扑动力学（MSC2010） 关键词：连接;遍历动力系统;科普曼幺正表示;最小自拼接的不相交性;Ornstein同构定理 引文：Zbl 0718.28008号;Zbl 0987.37004号;Zbl 0475.28009号;Zbl 0507.28010号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{E.Glassner}，通过连接的遍历理论。普罗维登斯，RI:美国数学学会（AMS）（2003；Zbl 1038.37002）