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Dummit，David S。;理查德·富特（Richard M.Foote）。

抽象代数。第3版。 （英语） Zbl 1037.00003号

威利国际版。奇切斯特：威利（ISBN 0-471-45234-3/hbk）。xii，932页。(2004).
正在审查的这本书是关于现代抽象代数的最新标准文本之一的第三次扩充版。第一版于1991年出版，共658页(Zbl 0751.00001号)第二版于1999年出版，已有898页(Zbl 0943.00001号)，关于交换代数和基本（仿射）代数几何的另外两章，以及各种其他增强和改进。
本第三版又增加了34页，主要是因为增加了目前更重要的主题，即Gröbner bases及其各种应用，以及增加了练习和精简了原文的部分。总的来说，第三版似乎经过了仔细的修订、更新、增强、润色，甚至更完善。
关于第二版的主要变化，作者在第9章（题为“多项式环”）中增加了一个新章节，介绍了多项式环中理想的Gröbner基的基本理论，以及对经典消元理论的应用。在第15章中，仿射代数几何的处理融入了更多的应用和示例，并在文本中添加了大量涉及Gröbner基的极具指导意义的练习，包括计算和理论性质的练习。此外，整本书的其他章节也增加了一些新练习，特别是一般模理论、交换代数和同调的专题。
现在和以前一样，这本关于现代抽象代数的优秀教科书是极其全面的、多才多艺的、训练有素的、数学上严谨的、概念上和方法上都是最新的、构思精湛的、书写清晰的。作者们在编写这本伟大的教科书时，以最大的一致性和熟练度贯彻了他们的指导原则，即展示不同数学领域之间丰富的相互作用所产生的力量和美感。贯穿始终的重点是鼓励引入和发展重要的代数概念，使用尽可能多的具体例子。另一方面，在不试图太百科全书的情况下，作者高度重视触及现代代数中的许多中心主题，以暗示这些基本思想的自然发展。这些重要的想法和结果中有大量出现在练习中，其总量无与伦比，几乎高得令人难以置信，其质量和带来的效果都非常完美。在某些情况下，甚至会在练习中首先引入新材料，以便学生可以通过自己动手的方式更容易地接触到它，然后再进行系统的深入学习。在这方面，这本书真的很独特，很优秀，还有其他独特的特点使其成为经典（同时也是经典）文本是一个真正的奇迹，即坚持不懈的清晰和丰满，有教养和生动的阐述，希望追求现代代数一些重要领域的学生和教师的巨大灵活性，作者这样做的提示，严谨和仔细思考的证明，令人鼓舞的是，在解释更高级的主题时的轻松性，以及可供选择的丰富材料。
当然，这本书的规模之大也是独一无二的，但这不应被视为一个缺点或恐吓。相反，这应该被视为本书的一大优点，尤其是考虑到它的全面性、灵活性、清晰性、理论深度和具体例子的丰富性的巧妙结合。事实上，这本现代代数教科书提供了成为代数和数学学生的稳定伴侣所需的一切，从本科学习到高级研究生学习。此外，教师和教员，甚至研究人员，都会将其视为宝贵的信息来源、教学指导、示例和适当的练习。
对于难度差异很大的众多练习，作者最好出版一本补充小册子，提供所选（硬）练习的解决方案。至少对普通学生来说，这可能会有很大的帮助，进一步激励和鼓励他们。然而，总的来说，正在审查的这本书是现代数学中最伟大的教科书之一，它的第三版更有效地证实了这一判断。为了这篇综述的完整性，我们简要回顾了这本书的内容，与第二版相比，这本书基本保持不变(Zbl 0943.00001号)从1999年开始，除了上述的增强和改进之外。第一部分题为“群体理论”，包含前六章。第二部分包括第7-9章，介绍了基本环理论，包括关于Gröbner基的新章节。
第三部分讨论模和向量空间的线性代数，包括张量积以及投射模、内射模和平坦模。第四部分致力于场论和伽罗瓦理论，而第五部分提供交换代数、仿射代数几何和同调理论的基础，特别强调群的上同调。最后，第六部分讨论了有限群的表示理论，并包含第18章和第19章的结论。为了方便读者阅读，有两个附录，题为“笛卡尔积和佐恩引理”和“范畴理论”。
如前所述，本书的这六个部分和十九个章节中包含了许多非标准的教材，每一节后面的练习（通常带有提示）数量似乎是无法计算的，就像整个课文中散布的指导性示例一样。
再一次：这本教科书是现代抽象代数当代文学中的一颗明珠！
审核人：沃纳·克莱因茨（柏林）

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MSC公司：

00A05号 一般数学
20-01 与群论有关的介绍性说明（教科书、辅导论文等）
12-01 与场论相关的介绍性说明（教科书、教程论文等）
13-01 关于交换代数的介绍性说明（教科书、教程论文等）
16-01 关于结合环和代数的介绍性说明（教科书、教程论文等）
15-01 关于线性代数的介绍性说明（教科书、教学论文等）

关键词：

教材;普通代数;群论;场论;交换环与代数;线性代数;多线性代数;代数几何;表象理论;同调代数;范畴与函子

引文：

Zbl 0751.00001号;Zbl 0943.00001号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{D.S.Dummit}和\textit{R.M.Foote}，抽象代数。第三版奇切斯特：威利（2004；Zbl 1037.00003）