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琉璃苣、莉莉安娜

电阻抗断层成像。 （英语） Zbl 1031.35147号

反向探测。 18，第6号，R99-R136（2002）.
根据Dirichlet to Neumann（DtN）（或Neumann-to Dirichlete（NtD））的知识，更新（截至2002年，153篇参考文献）了EIT连续统模型反问题的理论和数值研究，该模型寻求物体内部的导纳性（（γ（x）=sigma（x）+i\omega\varepsilon（x））)审查了边界处的地图（部分地图）。1999年进行了类似的审查M.切尼，D.艾萨克森和J.C.纽威尔[SIAM Rev.41，85-101（1999；Zbl 0927.35130号)]. 它非常有用，因为它讨论了以前提出的一些求解反问题的方法的性能和局限性。
DtN和NtD映射分别通过Dirichlet和Thompson变分原理进行表征。对于（mathbb{R}^d）中的Lipschitz有界畴（Omega），DtN唯一地确定了（W^{2，p}（Omega）中的正各向同性电导率，对于（p>1），如果（d=2），请参见A.I.纳奇曼[数学年鉴（2）143，71-96（1996；Zbl 0857.35135号)]，以及正各向同性Lipschitz电导率，如果（d\geq 3），请参见L.Päivärinta公司，A.潘琴科和G.乌尔曼【Rev.Mat.Iberoam.19，57-72（2003年；Zbl 1055.35144号)]. 对于正各向异性电导率（σ），DtN图唯一地确定（σJ.西尔维斯特[公共纯应用数学.43，201-232（1990；Zbl 0709.35102号)]如果\（\lambda=2\），并且\（\sigma\）是解析的，如果\（d=3\），请参见J.M.李和G.乌尔曼【公共纯应用数学42，1087-1112（1989；Zbl 0702.35036号)]. 将EIT与电网和大地电磁学进行了有趣的类比，为电气工程地球物理学的研究提供了新的领域。反问题的稳定性依赖于H^{2+s}（Omega）中（s>d/2）的对数估计G.亚历山德里尼[应用分析27153-172（1988；兹比尔0616.35082)].
本文继续讨论了如何通过一些正则化方法稳定反问题，通过将导纳性（伽马）限制为（L^ infty（Omega））的紧致子集，确保重建算法的收敛性。值得注意的是，基本上所有已知的正则化方法都利用了有关未知（σ）或（γ）的一些“先验”信息，因此，它们可能会在图像中产生伪影。它还强调了比较正则化方法的标准的必要性。描述了各种成像方法。首先，回顾了线性化EIT问题（δ=1+delta\sigma），得出结论：在（Omega）内部没有已知的精确（或完全令人满意）的（δ\sigma的）重建。对于非线性EIT问题，层剥离算法不稳定，但对于逆电导问题，还有其他方法，如信号处理方法，请参见布吕尔先生和M.汉克[反问题16，1029-1042（2000；Zbl 0955.35076号)]和levelset方法，请参见F.桑托萨[ESAIM控制优化计算变量1，17-33（1996；Zbl 0870.49016号)]. 迭代算法也进行了审查，不幸的是，由于假设边界处已知\（\gamma\），因此对其的说明相当有限。
描述了带正则化的输出最小二乘法，并讨论了影响最终图像质量的两个重要问题，即：（1）如何离散未知伽玛射线？；（2） 应用什么电流通量激励？，地址为。对于第一个问题，可以使用多重网格方法或最优有限差分网格，但也可以使用有限元方法。对于第二个问题，如果有人想区分（σ）和给定的（σ^0），那么应该应用由领先特征向量（或右奇异向量）给出的电流通量，该特征向量是（σ0）的逆DtN算子和（σ0\）的逆D tN算子之差。
或者，可以使用变分算法。值得一提的是，目前还没有一种成功的成像算法使用Kohn和Vogelius松弛的EIT变分公式。更强大的似乎是变分可行性约束。对前向图的规律性作了一些有趣的评论，请参阅D.C.多布森[SIAM J.应用数学.52，442-458（1992；Zbl 0747.35051号)],E.博内特和M.Vogelius先生[SIAM J.数学分析93，651-677（2000；Zbl 0947.35044号)].
最后，讨论了几个开放性问题，如：（i）完整电极模型边界处DtN的内射性；（ii）更好地参数化未知（σ）或（γ）；（iii）各向异性。
总的来说，这是一篇关于连续体模型EIT的优秀专题综述论文。
附录见同上19、997-998（2003）。
审核人：D.Lesnic（利兹）

引用于180文件

理学硕士：

35兰特 偏微分方程的逆问题
35-02 关于偏微分方程的研究综述（专著、调查文章）
60年第35季度 与光学和电磁理论相关的PDE
92 C55 生物医学成像和信号处理
78A55型 光学和电磁理论的技术应用

关键词：

Dirichlet到Neumann映射;审查文件;EIT连续模型;电气网络;大地电磁;稳定性;正规化;重建算法;层剥离算法;反电导问题;信号处理;输出最小二乘法;多重网格方法;有限差分;有限元法;变分算法

引文：

Zbl 0927.35130号;Zbl 0857.35135号;Zbl 0709.35102号;Zbl 0702.35036号;Zbl 0616.35082号;Zbl 0955.35076号;Zbl 0870.49016号;Zbl 0747.35051号;Zbl 0947.35044号;兹比尔1055.35144
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\textit{L.Borcea}，逆问题。18，第6号，R99--R136（2002；Zbl 1031.35147）
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