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伊夫·安德烈
[F.加藤。;Nobuo Tsuzuki]

周期映射和微分方程。从\（{\mathbb C}\）到\（{\ mathbb C}_p\）。托霍库·霍克凯多算术几何讲座。附附录：A：加藤的进位分析快速教程，B：加藤（F.Kato）的进位统一化理论概述，C：进位对称域和津木（N.Tsuzuki）的Totaro定理。 （英语） Zbl 1029.14006号

MSJ回忆录. 12. 东京：日本数学学会。vii，246页（2003年）。
这本专著是作者分别在北国大学（1998年）和北海道大学（2001年）的两次算术几何研讨会上发表的一系列演讲的成果。
它的主要目的是向读者介绍基本解析几何的一些原理以及基本解析函数和微分方程理论的一些方面，从而重点讨论基本周期域和基本周期映射。
至于其文本背后的方法论策略，作者试图尽可能地遵循复杂分析理论，并在复杂背景和抽象背景之间来回切换，这使得复杂几何和算术几何的阐述都非常有趣。
此外，由于其历史意义的增长，他选择了时期映射主题作为本文的指导线索。也就是说，周期映射的思想在19世纪的数学中发挥了核心作用，从高斯和黎曼到克莱因和庞加莱，因为它不仅刺激了微分方程、群论、代数几何、微分几何、数论和分析位置（拓扑）之间的相互作用，但也代表了这些（如今的基础）数学领域早期发展的最推动因素之一。黎曼曲面、阿贝尔积分、超几何微分方程、自守函数、单值群和一致化微分方程的概念代表了经典复杂背景下的这些发展，以及J.Tate、B.Dwork、G.Shimura、N.在基本分析中对它们的非阿基米德类似物的阐述。卡茨等人必须被视为二十世纪数学最伟大的成就之一。最近的发展表明，过去几十年来一直在分裂的复合体理论和基理论之间的综合正在逐渐形成，而周期映射在这方面确实可以成为一个统一的概念。
在这种情况下，正在审查的专著旨在成为一个连接纽带，主要是通过将基本理论与其复杂的祖先联系得更紧密。
就内容而言，这本专著由三章和三个附录组成，附录由不同的作者编写。
第一章题为“基本周期（分析）的分析方面”，是预备性和介绍性的。它分为五个部分，处理解析延拓、求解复微分方程和阿贝尔积分周期的问题，重点是（p）adic上下文。作者讨论了V.G.Berkovich、B.Dwork的基本微分方程理论、Gauss-Manin联系和p.Colmez的Abelian基本周期的构造方法对基本几何的处理。
第2章介绍了由V.G.Drinfeld公司1976年和M.拉波波特和Th.Zink公司《数学年鉴》第141卷（1996年；Zbl 0873.14039号)].
在综述了复变种的模映射和周期映射、关于（p）-可分群的一些预备知识以及Dieudonné模和晶体上同调之后，作者介绍了（p）可分群、（p）-adic周期域、（p-adic周期映射和Gauss-Manin联系，他在本章的结尾部分介绍了Rapoport-Zink和采尔德尼克·德林菲尔德之后，对Shimura品种的adic均匀化理论的应用。
在这仅仅是几何部分之后，第3章转向标题为“（p）-adic orbifolds and monodromy”的群理论方面。这无疑是本书最先进和最具创新的部分，在这里，导言演变成了一本原创的研究专著。作者给出了分支覆盖、均匀化和Gauss-Riemann-Fuchs-Schwarz理论在抽象语境中的现代呈现。这包括自由几何中的故事覆盖和基本群（A la V.G.Berkovich和A.J.de Jong），回火基本群（仿照Y.André他自己），自由微分方程的局部和全局单值性，非阿基米德球面上的新材料，均匀自由微分方程，非阿基米德黎曼-希尔伯特对应、（p）-自由三角形群和Shimura曲线的均匀化。与前两章（仅仅是介绍性章节）相比，这最后一章也是最长的一章系统地阐述了关于基本分析和几何学的全新材料。
附录A，编写人F.加藤介绍了基本分析，包括刚性分析空间、一些形式几何，并简要介绍了V.G.Berkovich的非阿基米德分析方法。
附录B，也由编写F.加藤，概述了（p）-adic均匀化理论。
附录C，编写人N.Tsuzuki公司，是对\（p\）-adic对称域（在Rapoport-Zink之后）和B.托塔罗《杜克数学杂志》第83卷第1期第79-104页（1996年；Zbl 0873.14019号)].
总之，这本专著非常有价值和有用，因为它以巧妙的方式将经典和现代复杂分析与超现代元分析和几何学联系在一起，从而将这一主题的近乎完备的介绍与这一方向的开创性新成果结合在一起。
审核人：Werner Kleinert（柏林）

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MSC公司：

14国道22号 刚性分析几何
14-02 与代数几何有关的研究论述（专著、综述文章）
3220国集团 周期矩阵，Hodge结构的变化；简并
14克35 模块化和Shimura品种
11世纪18年代 模块和Shimura变种的算术方面

关键词：

算术几何;\（p\）-adic分析;刚性分析几何;Shimura品种;\（p\）-adic微分方程;\（p\）-adic周期域;\（p\）-adic周期映射;\（p\）-adic圆形;模空间;Dieudonné模块;结晶上同调;\（p\）-可除群;\（p）-adic Gauss-Riemann-Fuchs-Schwarz理论

引文：

Zbl 0873.14039号;Zbl 0873.14019号
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\textit{Y.André}，周期映射和微分方程。从\（{\mathbb C}\）到\（{\ mathbb C}_p\）。托霍库·霍克凯多算术几何讲座。附附录：A：加藤的进位分析快速教程，B：加藤（F.Kato）的进位统一化理论概述，C：进位对称域和津木（N.Tsuzuki）的Totaro定理。东京：日本数学学会（2003；Zbl 1029.14006）
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