曼德布洛特（Mandelbrot），Benoit B。 [F.J.达米劳。;框架，M。;麦卡伊，K。;范·内斯（J.W.Van Ness）。;沃利斯，J.R。] 高斯自相似性和分形。全球性、地球、（1/f）噪音和R/S.Selecta（旧的或新的）卷H。由f.J.Damerau、M.Frame、K.McCamy、J.W.Van Ness、J.R.Wallis和其他人贡献。Benoit B.Mandelbrot作品选。 （英语） Zbl 1007.01020号 纽约州纽约市：斯普林格。ix，654页（2002年）。 这本书是B.B.曼德尔布罗特的Selecta，如下金融中的分形和缩放（Selecta E）[施普林格-弗拉格，纽约（1997年；Zbl 1005.91001号)]以及多重分形和（1/f\）噪声（Selecta N）[施普林格-弗拉格，纽约（1999年；Zbl 0956.28005号)]. 本卷的主题是自相似性和高斯分形。这本书包含了作者在1965年至1988年间首次出现的统计、数学、物理、水文学、经济和金融等领域的作品，以及200多页专门为这本书编写的新材料。这本书的大部分内容都涉及在连续时间内变化的随机函数，并采用连续分布的值。在许多情况下，它们遵循高斯分布。本书中最重要的随机函数是分数布朗运动。这本书的很大一部分与分数布朗运动的几何研究有关。Mandelbrot在其他Selecta中选择字母H来表示这一卷，因为正如他解释的那样，“自恋指数是通过我对水文学家Harold Edwin Hurst非凡发现的回应而进入科学领域的”。字母H还表示“Hölder指数”，这是一个描述函数局部行为的数学术语。第H卷与Selecta E和N的主题有许多密切联系。其中一些链接在第H1和H30章中进行了描述。与前几卷相比，H卷的数学水平更高，包含了许多用数学术语表述的定理、问题和猜想。与Selecta E和N一起，本卷进一步发展了作者著名论文M1982FGN【the Fractal Geometry of Nature，Freeman（1982；Zbl 0504.28001号)].第H卷从第HO章开始，该章概述了分形和多重分形。它处理广泛的问题并回答各种各样的问题。Mandelbrot表明，分形几何学在数学中有一个重点，在基础广泛的发现中有另一个重点：尺度不均匀粗糙度普遍存在（在自然界和人造结构中），但可以进行定量处理。分形几何学是一门研究尺度不变粗糙度的学科，它是一门定量的、有组织的新“形状语言”，是统计和数据分析的“工具箱”，旨在研究随机性和变异性。本导言与第H8章一起描述了分形几何深远且高度相关的历史根源，作者对与本书相关的各个科学领域的主要贡献，2001年分形几何的内容以及他对进一步研究课题的看法。这本书的其余部分由七部分组成。第一部分和第二部分包括对本书的特别书面介绍，这些介绍将不同的模式和主题相互联系起来。统一的概念是自恋，其内容丰富且涉及面广，目前仍在发展中。第H1章通过集中讨论由发起者和生成器递归构造的非常窄的自相似曲线族来探讨自相似性的概念。结果表明[另见第H24章的长篇前言]，生成器中的微小变化会对生成的自仿射曲线产生显著影响。第二章讨论了几种不同的自恋概念。作为自仿射高斯分形的一个特别重要的例子，维纳-布朗运动（WBM）在第三章中进行了讨论，其中研究了它的结构和分形维数。第H3章不仅讨论了WBM轨迹和记录的Hausdorff-Besicovitch维数的经典结果，而且还描述了关于Brownian和逾渗簇外壳的Hausdorff-Besic维数的几个新旧猜想。令人兴奋的新发展包括Lawler、Schramm和Werner（2000）最近对Mandelbrot著名的关于布朗星系团Hausdorff维数的（4/3）猜想的数学证明[M1982FGN，Plate 243]，以及Smirnoff（2001）对渗流星系团上相应的（7/4）和（4/3”猜想的证明。这些结果表明，与WBM是一个被广泛理解、成熟的主题的印象相反，WBM的分形维数特性在许多方面被证明是多样的、复杂的和微妙的。第H4章讨论了Weierstrass函数族。尽管它只部分涉及高斯分形，但它的主题与本书的目标高度相关。原始的Weierstrass函数用作连续但不可微的函数的示例。对这些“旧”函数进行修改和扩展（例如，添加“次谐波”并允许随机相位），以获得具有越来越丰富不变性的“新Weierstrass函数”。它们有多种用途。第H5章根据扩散过程的局部（也称为短期）和全局（也称为长期）依赖性，将扩散过程分为等扩散过程和异扩散过程。全球依赖的存在是由两个原因造成的，一个是单独的，另一个是共同的：全球依赖，被称为“约瑟夫效应”，另一种是胖（重）尾，被称之为“诺亚效应”。H6讨论了自仿射函数和平稳过程之间的变换，使用对数时钟。在维纳-布朗运动的例子中，这个时间变化给出了奥恩斯坦-乌伦贝克过程。第七章是关于经验幂律行为、（1/f）噪声及其与自相似性的联系。本章与Selecta N（1999）第N3章密切相关。第H8章处理了与概述章节HO相近的主题，并对作者的个人参与进行了更多描述。它包含“关于随机行走、布朗运动和眼睛在帮助科学理解中的作用的鲜为人知的历史插曲”，以及作者对本书主题的主要贡献的总结。H8还汇集了（按时间顺序）一些与领域、合作者、裁判和编辑的不太可能的接触的个人回忆。本卷第三部分至第七部分重印了作者及其同事1965年至1988年间关于该主题的论文，并添加了前言、注释和历史评论。第三部分由第9章和第10章组成，可以被视为本书主题的简单介绍。H9章是本卷重印的最古老的论文。它将赫斯特幂定律与自相似性联系起来，并引入分数布朗运动（没有名字）。H10提出了一系列水文统计模型，用于解释降雨研究中的诺亚和约瑟夫效应。第四部分和第五部分涉及分数布朗运动、分数布朗曲面及其在统计建模中的用途。第H11章重印了作者与Van Ness（1968）的著名论文，他们在其中定义了分数布朗运动，并研究了其移动平均表示、自相似性和长程依赖性。第H12章和第H13章测试分数噪声作为现实模型的质量，并估计其参数。两种方法是R/S公司分析和光谱分析，第七部分将更详细地讨论前者。第H14章是对H11的补充[M&Van Ness（1968）]。H15描述了一种快速分数高斯噪声发生器。第四部分H17-20章讨论了分数布朗曲面[分数布朗运动的多维时间扩展]、它们的数学构造、自相似性以及在湍流和地球地形建模中的应用。第六部分混合了自相似性、各种分形维数和多重分形的主题。关于自相似集的分形维数性质的结果表明，与具有唯一分形维数的自相似集相比，刻画自相似分形的结构需要几个不同的维数。Mandelbrot认为，自仿射集研究的丰富性和复杂性不是纯粹的数学，而是反映了自然界的丰富性和复杂性。第H21章介绍了第六部分的要点。H22讨论了局部和全局质量/盒维数以及自相似分形的间隙维数。H23处理自仿射分形曲线，并表明，沿着曲线“行走分割线”会产生局部和全局值，这些值可能与曲线的质量/盒维数不同。H24讨论了C.麦克马伦[名古屋数学杂志96，1-9（1984；Zbl 0539.28003号)]这表明递归构造的自仿射分形的Hausdorff-Besicovitch维数可能严格小于其局部盒维数，这一结果对分形几何的新发展具有启示。正如曼德布罗特所说，其中一个含意是，豪斯多夫-贝西科维奇维数在分形几何中的特殊地位可能已经丧失。第七部分系统研究了R/S分析。它包含了J.R.Wallis[H25&27]的两篇论文的重印本，这两篇论文深入讨论了（R/S）方法的基础并解决了水文和地球物理问题，他自己的一篇数学论文[H26]是关于自归一化桥梁范围极限定理的，以及关于（R/S\）应用的论文对研究长期运动的分析[H28]，语言学[H29]，经济学和金融[H30]。综上所述，曼德布罗特的《精选集》第H卷对理解野生自相似可变性和随机性做出了重大贡献。我相信，与M1982FGN类似，它将对未来数学、统计、物理和其他应用领域的研究产生重大影响。审核人：肖益民（伯克利） 引用于1审查引用于38文件 理学硕士： 01A75号 收集或选择的作品；经典作品的重印或翻译 28A80型 分形 37A99型 遍历理论 60J60型 扩散过程 60J65型 布朗运动 82B31型 随机方法在平衡统计力学问题中的应用 关键词：自恋;分形;多重分形;高斯过程;分数布朗运动;Hausdorff-Besicovitch尺寸;1/f噪音;长程依赖性;R/S分析 引文：Zbl 1005.91001号;Zbl 0956.28005号;Zbl 0504.28001号;Zbl 0539.28003号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{B.B.Mandelbrot}，高斯自相似性和分形。全球性、地球、（1/f）噪音和R/S.Selecta（旧的或新的）卷H。由f.J.Damerau、M.Frame、K.McCamy、J.W.Van Ness、J.R.Wallis和其他人贡献。Benoit B.Mandelbrot作品选。纽约州纽约市：施普林格（2002；Zbl 1007.01020）