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劳伦特·曼尼维尔

对称函数、舒伯特多项式和简并轨迹。Transl.公司。约翰·R·斯沃洛（John R.Swallow）的《来自法国》。 （英语） Zbl 0998.14023号

SMF/AMS文本和专著6; Cours Spécialisés（巴黎）3。普罗维登斯，RI：美国数学学会（AMS）（ISBN 0-8218-2154-7/pbk）。vii，167页。(2001).
组合学、代数和几何学之间有着惊人的联系。对称函数之间的关系，尤其是舒尔多项式一方面表征理论的对称的-和一般线性另一方面，群体和舒伯特多项式，以及几何和上同调理论旗下品种和舒伯特变种第三方面。数百年来，这些联系引起了数学家的兴趣，并证明对该领域的发展极其富有成效。该地区仍在活跃和扩张。新的令人惊讶的联系经常出现，并且仍然存在许多有趣的问题和猜测。这本书介绍了这些领域的基本材料及其相互关系。它为《对称函数和霍尔多项式》（1998；Zbl 0899.05068号)以及关于“舒伯特多项式”的注释，Lond。数学。Soc.Lect（社会学）。注释序列号。166, 73-99 (1991;Zbl 0784.05061号)由I.G.麦克唐纳、和至W.富尔顿他的书《年轻的表格：表象理论和几何的应用》[Lond.Math.Soc.Student Texts.35（1997；Zbl 0878.14034号)]. 在许多地方，这本书给出了不同的观点，并选择了不同的技术。是以清晰、快速的风格写的。有时速度如此之快，以至于更多的例子都会很有用。本书由三个独立部分组成：
对称函数和舒尔多项式。
舒伯特多项式。
舒伯特变种的几何和旗变种的上同调。
内容大致如下：
第一部分以C.Jacobi的原始方式介绍了Schur函数，并用Young tableaux进行了解释。Pieri公式、Jacobi-Trudi公式和Giambelli公式是用通常的方法证明的。解释了Knuth、Schensted和Robinson等组合对应关系，并定义了Platic幺半群。利用这些工具，给出了舒尔多项式乘法的Littlewood-Richardson规则。该演示文稿是麦克唐纳在上述对称函数和霍尔多项式书中使用的演示文稿的替代方案。
介绍了该理论的几个应用，定义了重要的Kostka-Foulkes多项式，并证明了它们的主要性质。在另一节中，给出了Schur多项式与对称群的不可约特征之间的经典联系。
本书的第二部分专门讨论舒伯特多项式。舒伯特多项式有几种可能的方法。在这里，作者选择了S.Fomin和A.N.Kirillov通过对称群的Yang-Baxter方程和Hecke代数提出的方法。本文介绍了如何计算舒伯特多项式，并证明了舒伯特多项式的主要性质，如对称性、柯西公式、基、插值和特化。解释并使用了I.Gessel和G.Viennot的格路径方法。一个有趣的问题是如何确定舒伯特多项式的乘法。证明了Monk的部分公式和Schubert多项式的Pieri公式。
在书的第三部分中，对格拉斯曼变种及其舒伯特变种进行了介绍和研究。描述了它们的坐标环，并给出了Schubert簇奇点的基本性质。还确定了格拉斯曼簇的上同调环。描述了Chern类与特殊Schubert变种的类之间的著名对应关系，并证明了著名的Thom-Porteous公式。为了研究简并位点，研究了旗品种及其舒伯特品种的更一般的理论，并描述了旗品种的上同调环。这本书的一个亮点是研究向量束之间映射的简并轨迹，并证明了Fulton的美丽结果，该结果给出了某些简并轨迹类与Schubert多项式之间的关系。
审核人：丹·拉克索夫（斯德哥尔摩）

引用于三评论
引用于140文件

MSC公司：

14月15日 格拉斯曼流形、舒伯特流形、旗流形
14-02 与代数几何有关的研究论述（专著、综述文章）
05-02 与组合数学有关的研究论述（专著、综述文章）
2010年5月 表征理论的组合方面
14N10号 代数几何中的枚举问题（组合问题）
05年5月5日 对称函数和推广
20立方 有限对称群的表示

关键词：

年轻的舞台;对称函数;舒尔多项式;舒伯特多项式;Bruhat订单;赫克代数;格拉斯曼人;旗下品种;舒伯特变种;扁平环;Kostka-Foulkes多项式;对称群;一般线性群;奇点;皮耶里公式;Jacobi-Trudi公式;詹贝利公式;Yang-Baxter方程;Thom-Portious公式;简并位点;分区;Littlewood-Richardson规则;Monk公式

引文：

Zbl 0899.05068号;Zbl 0784.05061号;Zbl 0878.14034号
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\textit{L.Manivel}，对称函数，舒伯特多项式和简并轨迹。Transl.公司。约翰·R·斯沃洛（John R.Swallow）的《来自法国》。普罗维登斯，RI:美国数学学会（AMS）（2001；Zbl 0998.14023）