奥利维尔·德巴雷 托利和复杂阿贝尔变种。（Tores et variétés abéliennes复合体） （法语） Zbl 0964.14037号 Cours Spécialisés（巴黎）. 6. Les Ulis：EDP科学。巴黎：法国数学学会，第六期，125页（1999年）。 这本书是作者1997年春季在法国斯特拉斯堡大学教授的复杂托利和阿贝尔变种课程的延伸版。它的目标是向读者介绍这些对象的经典理论，以及复杂代数和解析几何的一些更现代的方面。在此基础上，提出了美丽而丰富的复圆环和阿贝尔变种经典理论作为文本的中心框架和主体，通过该理论激发、解释并有效地使用了一些现代方法（层理论、层上同调、特征类等）。第一章简要介绍实向量空间中的格、复环面及其全纯映射和射影空间。然后，第二章致力于研究作为一维复圆环的复椭圆曲线。这里介绍的材料包括关于椭圆曲线的所有经典主题：Weierstrass（wp）-函数、作为平面三次曲线的投影嵌入、θ函数、除数和椭圆曲线的Riemann-Roch定理，绝对不变量，以及复椭圆曲线模空间的构造。在本章（仍为介绍性章节）的末尾，作者给出了一些动机，以了解已为复杂椭圆曲线确定的内容，以便在后续章节中讨论高维复圆环。第三章提供了关于紧复圆环的微分形式和de-Rham上同调的必要背景材料，包括它们的Kähler结构。本章还为读者准备了代数和解析几何中的一个非常核心的问题，即紧复流形的射影率准则。这个问题在第四章中讨论，沿着高维复圆环理论的经典部分。在这一章中，作者讨论了θ函数（具有特征）、一般复流形上的除数和复圆环上的亚纯函数。第五章讨论了复流形上的线丛，特别是复圆环上的线束（以Appell-Humbert定理告终），并解释了如何计算承认Hermite度量的线丛的第一Chern类。第六章转向阿贝尔变种，其动机是一个问题，即在什么条件下复环面承认积分Kähler形式，即在何种条件下复环是射影代数变种。这导致了复复复曲面上极化的黎曼条件、正线束的存在、这些线束的相应黎曼-罗奇定理，并最终导致了具有正线束的复曲面的勒夫谢兹嵌入定理。在讨论了复圆环的对偶理论和正线性束截面空间之后，作者引入了极化阿贝尔簇的概念，描述了阿贝尔簇函数场，证明了庞加莱可约性定理，讨论了阿贝尔族的分解性质，并给出了一个组合阿贝尔簇的自同态代数。第七章研究极化复阿贝尔簇的模问题。这里介绍的经典材料包括模空间a la C.L.Siegel的解析构造、高维θ函数、模形式以及这些解析模空间通过θ常数的投影嵌入定理。最后的第八章题为“复杂环面的子变种”，并介绍了一些新的非经典材料，这些材料首次出现在教科书中。本章的主要结果是Fulton-Hansen型关于某些紧致、不可约和正规变体乘积的连通性定理，然后将其应用于计算复环面的特殊不可约正规子变体的基本群。这直接导致了该领域当前研究的前沿，需要使用更先进的方法，如Stein分解、纯度定理、奇异分析变种等。对于这些技术，读者可以参考更先进的教科书文献和相关研究文章。作者连通性定理的另一个应用是关于复环面的光滑不可约子簇的高斯映射，它对于某个子簇是平移不变的。作者给出了著名定理的另一个证明，指出在上述条件下，高斯映射的纤维是有限的，由此正则纤维甚至是充足的。他的证明基于一个新定理（theorème 4.2），该定理建立了对于复环面子簇的包含对（B\子集a\），（B-a\）的维数等于（B\）点处的切线簇的维数。这篇文章包含了大量关于复杂的托利和阿贝尔变种的材料，写得非常简洁但清晰。所包含主题的介绍既经济又优雅，尽管通常相当粗略和简短。建议读者在必要时查阅有关这一主题的更全面的教科书，特别是标准文本H.兰格和伯肯哈克（Ch.Birkenhake）[“复杂阿贝尔变种”，Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 302（1992；Zbl 0779.14012号)]. 另一方面，本书简要而优美地介绍（和邀请）了关于复圆环和阿贝尔变种的更高级文献，以及一般的复代数和解析几何。每一章都添加了大量的问题和练习，对读者来说极具挑战性，这些问题和练习都是经过精心挑选和激发的。此外，作者在整篇文章中给出了额外和进一步阅读的提示。总之，这是一套关于这个激动人心的主题的非常有价值和鼓舞人心的课堂讲稿。审核人：沃纳·克莱因茨（柏林） 引用于1审查引用于21文件 理学硕士： 14K20型 阿贝尔变种的解析理论；阿贝尔积分与微分 14-01 与代数几何有关的介绍性说明（教科书、教程论文等） 14H52型 椭圆曲线 14-02 代数几何相关的研究综述（专著、调查文章） 58甲12 整体分析中的德拉姆理论 32立方厘米 解析空间的拓扑 32国集团13 复杂分析模问题 55纳米10 奇异同调与上同调理论 55N30型 代数拓扑中的剪切上同调 55问题52 特殊空间的同伦群 第58页第10页 整体分析中的微分形式 关键词：复式圆环;复杂阿贝尔变种;θ函数;θ除数;椭圆曲线;线路束;极化阿贝尔簇的模空间;模块化形式;高斯映射 引文：Zbl 0779.14012号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{O.Debarre}，Tores et variétés abéliennes复合体。Les Ulis：电子数据处理科学；巴黎：法国数学学会（1999；Zbl 0964.14037）