×
约翰·布斯

可和性的经典和现代方法。 （英语） Zbl 0954.40001号

牛津数学专著纽约州纽约市：牛津大学出版社。xiii，第586页（2000年）。
可求性，或者更正式地说，序列空间的线性变换，基本上始于1890年，当时Cesàro发表了一篇关于级数乘法的论文[Bull.Sci.Math.（2）1414-120（1890）]。检查1880-1976年出版的可总结性年度记录，如K·泽勒和W.比克曼【Limitierungsverfahren理论。2。澳大利亚。（Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete，第15页。《柏林-海德堡-纽约：施普林格-弗拉格》（1970；Zbl 0199.11301号)]有人观察到活动稳步增加，1953年达到最大值，然后缓慢减少。对可消费性研究兴趣的早期下降有几个原因，其中最重要的是G.H.哈代于1947年去世。他的书发散级数出现于1949年(Zbl 0032.05801号)直到现在，在L.S.Bosanquet的帮助下，仍然是从经典分析的角度对该主题进行全面处理的唯一方法。
从1949年开始，K·泽勒开始将功能分析思想引入该领域。后来，A.Wilansky和后来的其他人加入了这项工作，可和性领域随后从经典分析和函数分析两个角度继续发展。
试图覆盖一个存在了一个多世纪的领域是一项艰巨的任务，但作者的工作确实令人钦佩。这本书不仅列出了结果，而且在很大程度上是对经典和泛函分析可和性理论主要领域的自足式处理。作者写这本书的目的是，既可以作为总结性课程的研究生教材，也可以作为邻近领域的研究人员的可读参考，他们可能希望利用总结性的一些思想。
这本书分为三个主要部分：可和性和应用中的经典方法，可和性中的函数分析方法，以及这两种方法的组合。
第一部分由五章组成。第1章是对主题的介绍，包括一些历史评论，以及要研究的各种序列空间的符号和一些无限矩阵的示例。在第二章中，作者讨论了矩阵的一些基本分类：保守、强制、强保守、M型三角形、中值性质和有效的矩阵方法。第3章介绍了一些著名的矩阵方法，如Cesáro、Hölder、加权平均数、Riesz、Nörlund、Hausdorff、Abel和幂级数定义的方法。在第4章中，我们对其中一些方法的Tauberian定理进行了研究，包括Hardy-Littlewood O定理。第五章讨论了矩阵方法在幂级数边界行为、解析延拓、线性方程组的数值解以及一些矩阵方法的傅里叶有效性方面的应用。
第二部分由三章组成。第6章和第7章提供了文本其余部分所需的功能分析和拓扑信息。第六章的主题是拓扑空间、半度量空间、半赋范空间、Banach空间、局部凸空间、连续线性映射、对偶空间、相容拓扑、Fréchet空间和桶形空间。第7章讨论FK-空间的基本性质。FK-空间是具有可度量局部凸拓扑的序列空间，该拓扑是完备的。还讨论了“可分辨”子空间的基本性质：分段收敛（AK）、弱分段收敛（WAK）、函数分段收敛（FAK）和分段有界性（AB）。如果FK-space是normable，则称为BK-space。BK空间的一些例子是：超范数下有界（m）、收敛（c）和零（\（c｛0｝\））序列的空间，以及\（1\leq p＜\infty\）的\（\ell^p\）空间。还研究了对偶空间。
设（A）是无限矩阵，（ω）是所有实数或复数序列的空间。然后\（\ω_｛A｝：=\｛x \ in \ω\ mid Ax：=（\ sum_｛k｝A_{nk}x_{k} ）存在｝。如果\（E\）是FK-空间，那么\（E_{A}:={x\in\omega_{A}\mid-Ax\inE\}\），\（c_{A{:={x\inE\ mid-Axx\inc\}），以及每个\（x\in\ omega_A}\）的β-对偶}\），其中\（cs\）表示形成收敛序列的序列集。
第八章将矩阵方法的域视为FK-空间、域的可分辨子空间、可替换性和不变性、一致性和完备性、可替代性和（mu）-唯一性。第八章表明，如果（A）是任意矩阵，（E）是FK-空间，那么对于每个（f在c_{A}'中，）都存在一个复数（mu）和一个序列（t在ell中），以及一个序列_{A} x个+t（Ax）+\alpha x]\）表示每个（c_{A}\中的x\）。上述表示中的\（\mu\）并不总是唯一的。一个有趣的问题是确定一个人在哪些情况下具有唯一性。
第三部分还包括三章。在第九章中，作者讨论了Mazur-Orlicz型、有界序列和域、一致性和比较以及矩阵奇异性的一致性和定理。在第10章中，我们遇到了Saks空间和混合拓扑，以及使用商表示的有界比较定理。最后一章讨论了一个非常一般的包含定理，一些滑动峰和振荡性质，使用分段收敛建立Silverman-Toeplitz型定理，以及Hahn性质。让\（\chi\）表示0'和1'的所有序列的集合。序列空间（E）具有Hahn性质，如果（（chi\cap E）子集c_{B}）暗示每个矩阵（B）都有（E\subset c_{B}）。
这本书包含了一个极好的索引，既包括术语，也包括书中引用的作者。藏书目录包含268个项目，所有这些项目都在正文中适当提及。每一章最后都有一个注释部分，包含该章材料的附加信息，以及进一步阅读的细节。除了四个例外，每个部分都以一个简短的练习列表结束。（本书共有176篇。）其中一些练习涉及具体的例子，目的是提高读者对该部分内容的理解。其他是该部分理论的延伸。在所有情况下，都会提供具体的参考资料来帮助读者。除了对许多定理进行完整而详细的证明外，作者还提供了大量具体的例子来激发和澄清观点。
我在阅读本书时发现的唯一错误是欧拉矩阵的定义（3.4.8）。作者定义了一个Euler矩阵\（（E，\alpha）\，使其具有条目\（E_{nk}^{alpha}=\binom{n}{k}\alpha^k（1-\alpha）^{n-k}，\）for \（\alpha\geq0.\）。然而，如果参考Hardy，\（E，\ alpha。
作者值得赞扬，不仅因为他提供了宝贵的资源，而且因为他在编写材料时的谨慎。这本书将有力地激发新研究人员对可加性的兴趣。
审核人：Billy E.Rhoades（布卢明顿）

引用于2评论
引用于219文件

MSC公司：

40-02 关于序列、系列、可加性的研究综述（专著、调查文章）
2002年6月 与功能分析相关的研究综述（专著、调查文章）

关键词：

矩阵方法;经典可和性;现代可和性

引文：

兹比尔0199.11301;兹标0032.05801
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit｛J.Boos｝，可和性的经典和现代方法。纽约州纽约：牛津大学出版社（2000年；Zbl 0954.40001）