埃里克·谢赫特 分析手册及其基础。 （英语） Zbl 0943.26001号 加州圣地亚哥：学术出版社。xxii，883页（1997年）。 本手册由四大部分组成，标题为集合与排序（集合；函数；关系和顺序；关于sups和infs的更多信息；过滤器、拓扑和其他集合集；建构主义和选择；网络和聚合），代数（基本代数系统；具体范畴；实数；线性；凸性；布尔代数；逻辑和无形），拓扑和一致性（拓扑空间；分离和正则公理；紧性；一致空间；度量和一致完备性；Baire理论；正测度和积分），以及拓扑向量空间（范数；赋范算子；广义黎曼积分；Fréchet导数；群和向量空间的度量；拓扑向量空间的桶和其他特征；对偶性和弱紧性；向量测度；初值问题）。因此，第一眼看这本书的目录，读者应该会对非常不寻常的主题选择感到惊讶：为什么要把功能分析、拓扑学和代数这些看似独立的主题的奇怪组合收集到一本名为《分析手册》的巨著中？答案由作者本人在序言中给出，其中详细解释了主题的选择，并特别强调了标题中的“基础”一词。由于很难比作者更好地描述动机，让我们直接从前言中引用一些部分。据作者介绍，本手册包含了整个传统教科书书架中最基本的部分。哈尔莫斯在他的“自动制图”中说，学习大量数学的一个好方法是阅读许多书的第一章。作者试图通过消除不同书籍之间的重叠，坚持一致的符号，并在不同主题之间插入频繁的交叉引用，来改进第一章的集合。该手册的综合方法显示了主题之间的联系，从而部分抵消了近几十年来在数学中变得司空见惯的细分为专门小部分的现象。因此，该手册的综合方法也支持跨学科主题的发展，如下文讨论的“无形资产”。内容偏向于分析师的利益。例如，作者对代数的处理主要关注凸性，而很少关注有限群或非交换群；他对一般拓扑的处理强调距离和贫乏集，但忽略了流形和同调。本手册不会将读者转变为代数、拓扑学或逻辑学方面的研究人员，但它将为分析师提供这些领域的有用工具。本手册还包括一些“硬分析”结果：克拉克森不等式、Kobayashi-Rasmussen不等式、鞅和Lebesgue测度的极大不等式等。然而，这本书更倾向于“软分析”，即存在定理和其他定性结果。优先考虑那些有简短、优雅或直观的证明，并且与本书的主题很好地吻合的定理。当对本书的主题足够重要时，还包括了一些很长的证明，例如布鲁沃定理、詹姆斯定理。大多数存在性证明要么使用紧性、完整性，要么使用选择公理（AC），这些主题在本书中得到了额外的关注。（事实上，选择、完整性、紧凑性是这本书的早期预出版版本的标题；提到这个标题的论文实际上引用了这个初步版本。）尽管这三种存在方式通常是截然不同的，但它们并非完全无关——AC有许多等价形式，其中一些与紧性或完整性有关。“基金会”一词有两层含义；这两者都是在本书的标题中写成的：在非数学的日常英语中，“基础”是指任何基本的、基本的或先决的材料。例如，这本书包含许多初等集合论、代数和拓扑学。这些主题不是分析的一部分，而是分析某些部分的先决条件。另一方面，“基金会”也有更专业化和技术化的含义。它涉及集合论（如AC）和形式逻辑中更高级的主题。许多数学家认为这些主题是所有数学的基础。传统的分析书籍只包含一页左右的内容，涉及第二层含义，这本书包含了更多内容。当人们寻找病理物体的例子时，就会产生这种含义。学生和研究人员需要示例；每一个抽象的概念都应该有一个或多个具体的例子，这是教育学的基本准则。因此，作者告诉我们，当他开始写这本书（最初是一本传统的分析书）时，他决心举例说明一切。然而，当他搜索文献时，他无法找到几个重要病理物体的明确例子，他现在称之为无形资产：非可数可加的有限可加概率，元素\（（l_infty）^*\set-l_1）（Hahn-Banach定理的惯常推论），最终不是常数的泛网，自由超滤器（在非标准分析中非常自由地使用！），\（mathbb R，\）的良序向量空间上的不等价完备范数。在分析书籍中，习惯上证明这些和其他病理对象的存在，而不构造任何明确的示例，也不解释示例的遗漏，甚至不提及任何遗漏。通常，学生不会有意识地注意到遗漏，而是对这些难以想象的未示出的物体感到模糊的不安。但后来人们发现，文献中省略了这些神秘物体的例子，因为它们必须省略：虽然对象存在，但也可以证明显式结构确实存在不存在。换句话说，所讨论的病理对象是固有的，固有的不可建设。这些观察和评论充分说明了作者的目标。其结果是一本优秀而引人入胜的书，从一个非常不寻常的角度揭示了数学分析的整体。这本书的书名当然有点误导人，评论家会倾向于更早的书名选择、完整性、紧凑性然而，这本原创作品不仅可以推荐给任何数学分析领域的研究人员和专家，也可以推荐给想感受数学整体内在美的任何学生。审核人：Jürgen Appell（瓦茨堡） 引用于1审查引用于104文件 MSC公司： 26-00 与实际功能相关的通用参考书（手册、词典、书目等） 46-00 与功能分析有关的一般参考书（手册、词典、参考书目等） 00A05号 一般数学 关键词：凸性;代数;功能分析;拓扑;分析 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{E.Schechter}，分析手册及其基础。加州圣地亚哥：学术出版社（1997；Zbl 0943.26001）