Shilnikov，L.P。;Shilnikov，A.L。;杜拉耶夫。;Chua，Leon O。 非线性动力学中的定性理论方法。第一部分。 （英语） Zbl 0941.34001号 非线性科学世界科学丛书。系列A. 4. 新加坡：世界科学。xxiv，392页（1998年）。 结构稳定性和微分方程等价系统的研究是微分方程理论中最令人兴奋的课题之一。这本书通过对动力系统的结构稳定平衡态和结构稳定周期轨道的特征进行易于理解的阐述，使读者对常微分方程的定性理论有所了解。它基于第一作者L.P.Shilnikov过去三十年在高尔基大学所开设的相关课程。这本书包括六章和两个附录。第一章是导论，描述了自治系统作为动力系统时的主要特性。本文还介绍了抽象动力系统基本理论中的一些事实（如泊松稳定性），其中简要介绍了拓扑等价的概念。第二章分析了结构稳定平衡态附近的轨道行为。注意鞍点附近解的行为，以及鞍点处不变的稳定流形和不稳定流形。在本章的最后一节，讨论了光滑线性化问题，其中给出了关于局部分岔共振的Poincaré理论的一些有用信息。在第三章中，作者讨论了结构稳定的周期轨道，并给出了不动点附近Poincaré映射行为的完整描述。首先给出了二维情况，然后在高维情况下，通过使用拓扑共轭，它们提供了结构稳定的周期轨迹附近的微分方程组的分类。详细讨论了鞍点不动点的情况，证明了关于鞍点不变流形存在性的一个定理。第四章考虑了周期或准周期非自治系统下的不变环面。在讨论了不变环面的存在性之后，这本书包含了一个定理，即当自治系统具有稳定的周期轨迹时，对于相对较小的周期光滑扰动，不变环面的持久性。在周期外力的情况下，二维不变环面上的轨迹行为可以用圆的可定向微分同胚来建模。本章最后讨论了与调制中的拍现象有关的同步问题（范德波尔方程）。第五章讨论了局部流形，即在结构不稳定平衡点的一个小邻域中，局部存在一个不变的光滑中心流形，其维数等于零实部特征指数的个数。最后一节给出了基于边值问题的这些结果的证明。第6章介绍了与第5章类似的周期解的结果。本章包含同宿环的中心流形定理。中心流形定理的公式在第1节中给出，而通过使用此类回路附近的Poincaré映射，在第6.3节中给出了证明。本章以检查异宿环的中心流形定理的形式结束。附录A中给出了一个关于将系统简化为一种特殊形式的定理，该特殊形式适用于分析鞍点附近的轨迹。这种简化在鞍点附近的简单线性化上的重要性是显而易见的，即使对于局部结果也是如此。最后，在附录B中，研究了鞍不动点附近轨迹的一阶渐近情况。作者采用了一种自由的表达方式，避免了大多数数学书籍中使用的更常见的定义——理论证明的方式。读者可能会欣赏这本书以结果而非定理为中心的具体方法。许多读者可能会理解的另一个特点是，一些证明时间较长的定理首先是通过讨论特殊情况来研究的，最后给出了它们的证明。例如，第5章完成或给出了定理2.5、2.6、2.8、3.4、3.6的证明，第2.8节证明了定理2.7，附录A中证明了定理2.17，附录B中证明了引理3.6等。另一方面，一些重要术语的形式定义并不总是给出。例如，第24页通过特征指数的性质定义了结构稳定性，但对于一般不必要的光滑情况，没有给出概念的定义。这本书有81篇参考文献。这本书可以在研究生入门级上使用，对任何对接近简单平衡状态和周期轨道的光滑微分方程解的定性行为感兴趣的读者都很有用，以及平衡态或周期同宿和异宿轨道的主要分岔。审核人：乔治·卡拉科斯塔斯（约阿尼纳） 引用于2评论引用于196文件 MSC公司： 34-02 关于常微分方程的研究综述（专著、调查文章） 37-02 关于动力学系统和遍历理论的研究综述（专著、调查文章） 34立方厘米 常微分方程的等价性和渐近等价性 34天30分 结构稳定性和常微分方程解的类似概念 34立方37 常微分方程的同宿和异宿解 34立方30 ODE解决方案流形（MSC2000） 34C25型 常微分方程的周期解 37J25型 有限维哈密顿和拉格朗日系统的稳定性问题 37千克45 无限维哈密顿和拉格朗日系统的稳定性问题 第37页第25页 拓扑动力系统的稳定性 关键词：动力系统;结构稳定性;拓扑等价;周期解;鞍点;不变流形;同宿和异宿轨迹 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{L.P.Shilnikov}等人，非线性动力学中的定性理论方法。第一部分新加坡：世界科学（1998；Zbl 0941.34001）