约阿希姆·昆茨 局部凸代数的双变量（K）-理论和Chern-Connes特征。（双变量\（K\）理论für lokalkonvex Algebren und der Chern-Connes-Charakter） （德语） Zbl 0920.19004号 文件。数学。 2, 139-182 (1997). 本文构造了（m）-代数（Banach代数的可数逆极限）的一个新的双变元（K）-理论，它推广了Fréchet代数的普通（K）理论和（C^*）-代数的卡斯帕罗夫双变元理论。建立了光滑同伦不变性和切除等基本性质。该方法受到定理的启发：（Cuntz）双变（KK）理论是（C^*）代数范畴上的普适双生子，它是分裂精确的、同伦不变的和稳定的（C^*-代数的稳定化（A to lim{n to infty}M_n（A）=A otimes{C^*}mathcal{K}），并没有改变它的（K）理论）。此外，任何这样的函子都是分次的，即满足Bott周期性。其思想是根据类似的特征重建（m）-代数的双变量（K）-理论。为了理解重建，人们应该回忆一下库茨定理的证明。它基于与所考虑范畴中的给定代数相关联的某些泛代数扩展的存在性。它们是：带（CA:=mathcal{C}^ infty（[0,1]，A）的cone-extension（0\ to SA\ to CA\ to A\ to 0\），Toeplitz扩展（0\ to-A\otimes_\pi\mathcal}to\mathcal{T}\ to SA\to 0\ \至TA\至A\至0\）其中，\（TA\）是\（A\）上适当拓扑化的张量代数。如果（F）是一个稳定的激发同伦函子，那么Toeplitz代数（mathcal{T}）（以及可压缩锥（CA））是（F）-无环的，从中可以推导出同构\[F_*（A）\xrightarrow[\simeq]{\delta}F_{*-1}（SA），\quad F_{*1}（CA，\]和（F{*-2}（A\otimes_\pi\mathcal{K}）\xleftarrow[\simeq]{delta}F{*-2-}（A）\）的稳定性，这意味着函子（F\）是Bott周期的。将锥扩张和Toeplitz扩张与泛线性分裂扩张进行比较，可以推断出自然代数同态的存在性（alpha:JA到SA，beta:J（SA）到A\otimes_\pi\mathcal{K}），这些同态在\（F）下转化为同构（张量代数是可压缩的，因此，\（F\）-无环的。）人们现在想推翻这一论点。一种是从泛光滑同伦双因子（[-，-]\）开始，将（a，B）代数同态的光滑同伦类从（a）到（B）的集合与一对代数关联起来，并通过\[kk_*（A，B）：=\lim_n[J^{2n+*}A，B\otimes_\pi\mathcal{K}]\]直接限制在地图上\[J^2（A）\xrightarrow{J（\alpha）}J（SA）\xrisharrow{\beta}A\otimes_\pi\mathcal{K}，\quare J^4（A）\ xrightarrow{J^3（\alfa）}J^3\]这显然定义了一个光滑同伦双生子，并且由\（α\）和\（β\）诱导的映射的可逆性意味着该双生子在悬浮和张量下都是稳定的。特别是它是博特周期的。悬浮稳定性意味着存在六项精确伪序列，从中可以通过标准参数推导出两个变量的删减。因此，\（kk_*（-，-）\）是一个激发的、稳定的光滑同伦双分裂子，并且在此类函子中显然是通用的。这促使我们将函子\（kk_*\）称为双变\（K\）理论。它定义在具有上述三种类型扩张的（m）-代数的任何范畴上，并配备有类似于（KK）-理论中卡斯帕罗夫积的合成积。一个重要的事实是，在普通（K）理论被定义的情况下，（kk_*（\mathbb{C}，-））与普通的（K）-理论一致。否则，在（K）函子未知的情况下，这个群可以用来定义（K）理论。作者与D.奎伦最近在双变周期循环上同调（HP）中建立了切除。因此，在Frechét-或（m）-代数范畴上，连续周期循环上同调成为一个稳定的、激发的光滑同伦双分裂子。双变量（kk）理论的普适性意味着在双变量连续周期上同调的双变量（K）理论上存在一个自然的双变量Chern-Connes特征（ch{biv}:kk_*（-，-）to HP^*（-、-）。这个双变量Chern-Connes特征与乘积兼容（必然会出现一个普适常数），如果第一个变量是复数，则从（K）理论降为周期循环同调的普通Chern特征。作者指出，只有在基于光滑Toeplitz-和con-extension的光滑版本\（kk_*\）上，才能通过这种方式获得双变量Chern-Connes特征：\[0\至\mathcal{S} A类\到\mathcal{C}^\infty（]0,1]，A）到A\到0，四元0到A\otimes_\pi\mathcal{K}到\mathcal{T}到\ mathcal{S} 一个\到0。\]如果要定义连续同伦双因子，必须使用连续扩展\[0\到SA\到C（]0,1]，A）\到A\到0，\四个0\到A\otimes_{C^*}\mathcal{K}（\mathcal{H}）\到mathcal}\到SA\to 0，\]其中，（mathcal{K}（mathcal{H}）是可分Hilbert空间上紧算子的代数。代数上连续周期循环上同调的病理行为（即，（HP）在（A^imes{C^*}\mathcal{K}（mathcal{H}）类型的代数上消失，并且通常在（CA）上是无限维的），阻碍了在卡斯帕罗夫（KK）理论上构造类似的Chern-Connes特征，其值在（HP）中。审核人：迈克尔·普施尼格（海德堡） 引用于9评论引用于27文件 MSC公司： 19公里35 卡斯帕罗夫理论 46H20个 拓扑代数的结构和分类 46升87 非交换微分几何 18克60 其他（共同）同源理论（MSC2010） 19升10 Riemann-Roch定理，Chern特征 关键词：\（m\）-代数;双变量理论;\（KK）理论;双变量理论;拓扑\（K\）理论;拓扑代数;切除;循环上同调;双变量Chern-Connes特征;Chern字符;循环同调 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.Cuntz}，博士。数学。2139-182（1997年；兹bl 0920.19004） 全文： 欧洲DML EMIS公司