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莫汉·奈尔;盖拉尔·特内鲍姆

某些算术函数的短和。 （英语） Zbl 0917.11048号

数学学报。 180，第119-144号（1998年）.
在[J.Reine Angew.Math.313，161-170（1980；Zbl 0412.10030号)]P.Shiu先生得到了某类乘法函数在短区间内算术级数和的统一上界，这一结果后来被M.Nair推广。本文的目的是对这些结果建立一个实质性的推广，它具有广泛的应用，并导致新的估计。
对于一个固定的正整数（k），让（M_k（a，B，varepsilon））表示一类非负算术函数（F（n_1，dots，n_k），使得（F（M_1n_1）\），其中\（（M_j，n_j）=1\）用于\（1\leq j\leq k\），其中\（m=m_1\点m_k\）。这涵盖了一大类函数，它们甚至不需要是次乘法的；例如，对于任何（varepsilon>0）和某些（B=B（varepsilon）），Hooley的（Delta）-函数都属于（M_1（2，B，varepsi隆））。假设（1）的（Q_j\in\mathbb{Z}[X]\），其中（Q=Q_1\dotsQ_k\）没有固定的素除数。作者建立了（sum_{x<n\leqx+y}F（|Q_1（n）|，dots，|Q_k（n）|]）的上界，该上界对于（x^\alpha\leqy\leqx）和（x）足够大是一致的，其中对于任何（A\geq1）、（B\geq1\）和足够小（varepsilon>0）都是一致的）\）具有指定的形式。在定理3中，当（Q（0）neq 0）和（n）被限制为素值时，他们考虑了类似的问题。当\（Q\in\mathbb{Z}[X]\）不可约时，定理2为\（prod_{X<n\leqx+y}Q（n）\）的最大素因子提供了一个下界，其中\（y=X^\beta\）为给定形式的\（beta\leq1 \）。
给出了一些有用且有启发性的推论，我们挑选出两个引人注目的具有众所周知的函数的特殊情况。写\（L（z）=\exp（\sqrt{\logz\log_2z}）\），然后让\（0<\varepsilon<1\）。推论5和9分别表示对于\（D\geq1\），\（x^\varepsilon\leqy\leqx\）\[\sum_{D<D\leq 2D}\left（\left[{x+y\over D}\right]-\left[{x\over D\right]\right）\lly\bigl（L（\log x）\bigr）^{sqrt 2+o（1）}\text{as}x\to\infty；\标记{i}\]
\[\max_{D\in\mathbb{R}}\sum_{D<q\leq2D}\bigl（\pi（x+y；q，a）-\pi。\标记{ii.}\]
审核人：E.J.Scourfield（埃加姆）

引用于4评论
引用于34文件

数学溢出问题：

谁证明了高阶除数函数的自相关上界？

MSC公司：

11号37 算术函数的渐近结果
11号56 算术函数的增长率
11号64 关于数值分布或算术函数特征的其他结果

关键词：

短时间间隔内的总和;多项式值的算术函数;胡利函数;最大素因子

引文：

Zbl 0412.10030号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit｛M.Nair｝和\textit｛G.Tenenbaum｝，数学学报。180，第1号，119--144（1998；Zbl 0917.11048）
全文： 内政部

参考文献：

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[9] ——《鄂尔多斯与辛泽尔问题》，第二卷。发明。数学。，99 (1990), 215–224. ·Zbl 0699.10063号 ·doi:10.1007/BF01234418
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