×
谢尔盖·阿布拉莫夫。;曼纽尔·布朗斯坦;马尔科·佩特科夫舍克

关于线性算子方程的多项式解。 （英语） Zbl 0914.65132号

Levet，A.H.M.（编辑），1995年符号和代数计算国际研讨会论文集，1995年7月10日至12日，加拿大蒙特利尔，ISSAC’95。纽约州纽约市：ACM出版社。290-296 (1995).
设（K）是特征为0的域，并且（L:K[x]~K[x]）是（K）上一元多项式的（K）-线性空间的自同态。我们考虑以下有关（L）的通信任务：
T1.齐次方程\（Ly=0\）：计算\（K[x]\）中\（\text{Ker}L\）的基。
T2.非齐次方程\（Lu=f\）：给定\（f\ in K[x]\），计算\（K[x]）中仿射空间\（L^{-1}（f）\）的基。
T3.参数非齐次方程\（Ly=\sum^m_｛i=1｝\lambda_i f_i\）：给定\（f_1，f_2，\dots，f_m\在K[x]\中），计算\（\text｛Ker｝L'\）的基，其中\（L'：（K[x]\oplus K^m）\到K[x]\）和\（L'：（y，\lambda）\mapsto Ly-\sum^m_｛i=1｝\lambda_if_i\），对于\（y\在K[x]\中），\（\lambda \以K^m\为单位）。
微分代数和差分代数中的许多问题和算法都将这些任务作为子问题来包含，尽管这些子问题在概念上很简单，但通常占总计算时间的相当份额。
我们考虑三种类型的线性算子：微分算子、差分算子和（q）-差分算子，它们都具有多项式系数。要找到形式为\（Ly=f\）的方程的多项式解，自然需要分两步进行：
1.计算方程多项式解的度界\（N\）。
2.给定\（N\），计算次数\（\leq N\）的多项式解。
我们的主要贡献是完成上述程序的步骤2。通常，它是通过待定系数来实现的：将（y（x））展开到通常的幂基（（x^n）^infty{n=0}），并将此表达式代入方程中，得到（c_i）的线性代数方程的三角系。然后，该系统的解与原始方程的解之间存在一一对应关系。
待定系数法的问题是，未知系数的数量，即（N+1）（在参数情况下分别为（N+m+1）），通常远大于方程的阶数，即（r）。我们证明，通过使用适当的多项式基，得到的线性系统具有一个表示未知系数递归的带对角矩阵。在充分利用这种递推关系后，需要求解的剩余线性系统的大小与矩阵的带宽相对应。
关于整个系列，请参见[Zbl 0903.00080号].

引用于31文件

MSC公司：

2005年第65季度 函数方程的数值方法（MSC2000）
39A10号 加法差分方程
34A30型 线性常微分方程和系统
68瓦30 符号计算和代数计算
65升05 常微分方程初值问题的数值方法

关键词：

微分算子;\（q\）-差分算子;多项式系数;多项式解;待定系数法;重现
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{S.A.Abramov}等人，《1995年符号和代数计算国际研讨会论文集》，1995年7月10日至12日，加拿大蒙特利尔，ISSAC’95。纽约州纽约市：ACM出版社。290-296（1995年；Zbl 0914.65132）