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弗兰克·瓦格纳。

稳定群体。 （英语） Zbl 0897.03037号

伦敦数学学会讲座笔记系列. 240. 剑桥：剑桥大学出版社。ix，309页（1997年）。
稳定群定义为一阶理论稳定的群（可能具有额外的结构）。稳定群的典型例子是代数闭域上的模和代数群。稳定群的研究联系了模型理论、群论和代数几何。自七十年代初以来，模型理论代数的这一部分得到了广泛的发展。出发点是1965年莫利关于不可数分类的开创性论文，他在其中引入了（ω）稳定性的概念。70年代，谢拉创立了他的分类理论，极大地推广了莫利的理论，其中的关键概念是稳定的一阶理论，该理论的模型中定义了非常普遍的依赖关系。试图从群的理论稳定性的逻辑约束中导出群的结构代数性质是很自然的。1970年，麦金太尔证明了沿着这条线的第一个结果，他刻画了（ω）稳定的阿贝尔群和场；结果表明，（ω）稳定域完全是代数闭域。七十年代初，齐伯开始研究有限Morley秩的群，这对该学科的进一步发展产生了巨大影响。研究有限Morley秩群的主要动机是（并且是）仍然开放的著名Cherlin-Zilber猜想：一个简单的有限Morley阶群是代数闭域上的代数群。后来，人们开始关注更一般的稳定性类别中的群体；主要工具是链条件、泛型方法和各种秩考虑。Zilber发现了一般稳定性理论和稳定群之间的惊人联系，然后由Hrushovski发展而来：结果表明，在某些一般条件下，稳定结构解释了无限群，这可以用来导出有关原始结构的信息。稳定群在主要由Hrushovski、Pillay和Zilber发展的几何稳定性理论、由Hrushavski和Zilmber产生的Zarisk几何结果以及Hrushovski证明Mordell-Lang猜想的逻辑外稳定性理论最近的显著应用中发挥着重要作用。
有几本书涉及稳定群体的各个方面。在他的书中[群马马厩(1987;Zbl 0633.03019号)],B.波扎特介绍了稳定群的一般理论。有限Morley秩的（ω）稳定群在A.博罗维克和A.内森[有限Morley秩群(1994;Zbl 0816.20001号)]. 使用稳定群的各种技术在A.皮莱[几何稳定性理论（1996年；Zbl 0871.03023号)].
在本书中，作者发展了稳定群的一般理论，将原始有限秩理论的各种扩展结合在一起，旨在尽可能在最一般的环境中给出结果。书中以一般形式呈现的许多结果都是作者的功劳。这本书介绍了该领域的最新技术，当然对逻辑学家和代数学家可能有用。
为了使演示内容尽可能完备，作者在导言一章中首先介绍了群论和模型理论（包括稳定性的基本原理）的迷你课程。第一章研究了群稳定性的代数后果；这里的技术主要基于链条件。在第二章中，作者开发了另一种分析稳定群的主要工具，泛型方法。在第三章中，模型理论发挥了更为突出的作用。作者认为赫鲁晓夫斯基的“内部”和“外部”概念；这首先是在一般情况下完成的，然后在组的上下文中完成，然后应用于对合及其中心化子的研究。他定义了连通分量（被设计成具有强连通性的“大”子群），并证明了不含交换正规子群的连通分量的结构定理。然后，他将拉斯卡秩理论应用于当地背景，从而形成了一种统一的方法来处理柏林-拉斯卡对单项式秩和赫鲁肖夫斯基的权重机制的考虑。特别地，作者证明了不可分解定理，并分析了域和坏群。第四章分析了与分叉相关的依赖关系。这里的主题是局部模性和单基性、局部模群、群配置、局部模组的拟同构环、CM-平凡性、维数理论、绑定群及其应用（特别是Hrushovski的一维理论是超稳定的定理）。在第五章中，作者考虑了具有性质\（\mathfrak R\）的稳定群（对于“秩类”），这是超稳定群和小稳定群的共同性质。他证明了具有这种性质的除环是代数闭域，并且任何（mathfrak R）-群都有一个具有相同基数的交换子群。在这种情况下，他还从某些群体行为中展示了无限域的可定义性。他分析了一个可溶（mathfrak R）-群的（Phi）-成分，并特别证明了它的（omega）-中心是可定义的，它的交换子群是幂零的；他发展了Carter子群理论和Frattini子群的一些类似物。证明了在任意无穷（mathfrak R）-群中存在无穷多个共轭类。
现在有几点评论。书中并非所有的历史和书目评论都十分准确：作者不知道齐尔伯在七十年代的一些先驱论文。例如，他在第102页指出，1987年Berline和Lascar证明了溶解度和幂零性的可定义性；实际上，在有限Morley秩的群的上下文中，Zilber于1973年证明了这个结果。他在第180页声称，Zilber关于有限Morley秩的可解非幂零群中无限场的可解释性的定理是由于Nesin。在第249页，在对Poizat关于维理论秩的结果的评论中，他没有提到莫利秩对于无数范畴理论的可定义性是由Zilber于1972年首次提出并证明的。绑定基团最初是由Zilber在1977年的论文中介绍的，而不是在他后来的1980年论文中，作为对第249页主张的评论。在第50页第（-7）行，有一个明显的印刷错误：应该把“完全分类”改为“无法计数的分类”。在第55页，作者声称，对于一个次稳定群（G），另一个模型（文本{Th}（G））可能不是次稳定的。这不是真的：假设（G）是稳定群（H）的一个子群；如果（G_1）是\（text{Th}（G）\）的模型，那么\（G_1\）基本上可嵌入到\（G^D）中，\（G\）的超幂；但（G^D）是稳定群（H^D）的一个子群。
审核人：O.V.Belegradek（凯梅罗沃）

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引用于42文件

理学硕士：

03C60型 模型理论代数
03C45号机组 分类理论、稳定性和模型理论中的相关概念
20甲15 逻辑在群论中的应用
20E07年 子群定理；子群增长
20平方英尺 由子组链定义的其他组类
2002年3月 与数学逻辑和基础相关的研究展览（专著、调查文章）
20-02 与群论有关的研究综述（专著、调查文章）

关键词：

稳定理论;稳定群;模型理论代数;群稳定性的代数结果;链条状况;泛型类型方法;对合;扶正器;已连接\（\Phi\）-组件;拉斯卡排名;不可分解定理;坏团体;分叉;局部模块化;单基性;组配置;量纲理论;绑定组;等级似的;分隔环;代数闭域;\（{\mathfrak R}\）-群;Carter子组;弗拉蒂尼亚群;溶解度;幂零性;莫利等级

引文：

Zbl 0633.03019号;Zbl 0816.20001号;Zbl 0871.03023号
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\textit{F.O.Wagner}，稳定组。剑桥：剑桥大学出版社（1997；Zbl 0897.03037）