露西娅·卡波拉索;乔·哈里斯;巴里·马祖 有理点的一致性。 （英语） Zbl 0872.14017号 美国数学杂志。Soc公司。 10，第1期，第1-35页（1997年）. 设\（K\）是一个数字字段。本文解决的一个问题是：给定在（K）上定义的曲线族（f:X到B），纤维的（K）有理点集如何随（B）的变化而变化，特别是其基数如何作为（B）的函数？这相当于以下推测：均匀性猜想。设\（K\）是一个数字字段，\（g\geq 2 \）是整数。然后有一个数\（B（K，g）\），对于在\（K\）上定义的属\（g）的任何光滑曲线\（X\），\（#X（K）\leq B（K、g）\。（这里，（X（K）表示（X）的（K）-有理点集。）-本文的主要结果是，如果假设Lang关于数域上高维变量上有理点分布的猜想是有效的，那么一致性猜想是成立的。首先回忆一下朗的推测。弱朗猜想。如果\（X\）是在数字字段\（K\）上定义的各种一般类型，那么\（X（K）\）不是Zarisk稠密的。朗的猜想有一个更有力的版本。斯特朗猜想。设\（X\）是在数字域\（K\）上定义的任意类型的一般类型。存在一个适当的闭子簇（Xi子集X），使得对于任何包含（K）的数域（L），位于（Xi）之外的（X）的（L）-有理点集是有限的。本文证明的算术性质的结果如下：定理1。（一致界）如果弱Lang猜想为真，那么对于每个数域（K）和整数（g\geq2），都存在一个整数（B（K，g）），使得在（K）上定义的亏格（g）的光滑曲线没有超过（B（K，g）个有理点。如果进一步假设强Lang猜想，那么数字（B（K，g））只依赖于（g）而不依赖于（K）。定理2。（泛泛界）强Lang猜想表明，对于任何（g（g）2），存在一个整数（N（g）），使得对于任何数域（K），只有有限多个亏格（g）的光滑曲线定义在（K）上，且其有理点大于（N（g）（K）。本文的主要几何结果提供了各种可以应用朗猜想的一般类型。定理3。（相关）设（f:X到B）是整变种的一个真态射，其一般纤维是至少2个亏格的光滑曲线。然后，对于足够大的（n），（X^n_B）允许一个支配有理映射（h）到各种一般类型（W）。此外，如果在数字字段\（K\）上定义了\（X\），那么\（W\）和\（h\）也在\（K_）上定义。在假设弱Lang猜想和定理3的前提下，证明了定理1，在假设强Lang猜想的前提下证明了类似的定理2和定理3。定理3（相关性）的证明构成了从（S2）到（S5）的论文的核心。给出了一些例子：例如，（B（K，g））对于固定的（K）和变化的（g），以及（N（g））：（B（mathbb{Q}，g）geq8\cdotg+12）的渐近行为；（N（2）\geq 128）和（N（3）\geq72）。然后讨论了高维情况。几何朗猜想。如果\（X\）是一般类型的任何变种，那么所有不属于一般类型的\（X_）的不可约正维子变种的并集是一个恰当的闭子变种\（Xi\子集X\）（称为\（Xi）的Langian例外轨迹，用\（X_X）表示）。猜想（H）。（高维情形下的相关）设（f:X到B）是积分簇的任意态射，其一般纤维是一般类型的积分簇。然后，对于\（n \gg 0 \），\（X^n_B \）允许一个支配有理映射\（h \）到各种一般类型的\（W \），使得\（h）到\（f \）的一般纤维的限制是一般有限的。人们可能会问：子变量（Xi子集X）如何随参数变化？如果给一个普通类型的变种族（f:X\ to B\），那么对于纤维的例外亚变种（Xi_B=Xi_{X_B}\），我们能说些什么呢？这在下面的定理中得到了回答。定理4。假设几何Lang猜想和猜想（（H）），存在一个数（D（D，k）），使得对于度为（D）或更小、维数为（k）或更小的所有射影变种（X），Langian例外轨迹的总度为（deg（Xi_X）leq D（D、k））。这里，一个簇的总度是其不可约分量的度之和。定理5。假设曲线族对称平方的弱Lang猜想和猜想（（H）），对于每个整数（g）和数域（K）都存在一个数（B_q（g，K），使得在（K）上定义的亏格（g）的非超椭圆、非双椭圆曲线（C）都不超过（B_q（g，K）\)坐标在\（K\）上为二次的点。如果我们另外假设强Lang猜想，则对于每个整数（g）都存在一个数（N_q（g）），使得对于任何数域（K），只有有限多条定义在（K）上的亏格（g）的非超椭圆、非双椭圆曲线，这些曲线的坐标都是在（K。审核人：N.Yui（金斯顿/安大略省） 引用于20评论引用于57文件 MSC公司： 14G05年 理性点 14H25号 曲线的算术地面场 14甲10 族，曲线模量（代数） 关键词：一致性猜想;朗的猜想;有理点的分布 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{L.Caporaso}等人，《美国数学杂志》。Soc.10，No.1，1--35（1997；Zbl 0872.14017） 全文： 内政部 参考文献： [1] 阿布拉莫维奇。关于椭圆曲线上稳定积分点的个数。预打印·Zbl 0898.11020号 [2] 阿布拉莫维奇。统一的点理性des 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