阿戈斯蒂诺·普拉斯塔罗 PDE几何和力学。 （英语） Zbl 0866.35007号 新加坡：世界科学。x、 750页（1996年）。 在本世纪，偏微分方程（PDE）理论得到了强有力的发展，并取得了巨大的成果，这主要得益于几何方法的引入。数学家，如L.Bianchi、E.Betti、H.Cartan、T.Levi-Civita、S.Lie、G.Ricci Curbastro，仅举几个例子，他们为推导偏微分方程新的一般结果引入了几何趣味。然而，法国-美国学派最近对偏微分方程进行了系统的几何研究（参见S.S.Chern、C.Ehresmann、X.Ehrenpreis、H.Goldschmidt、P.A.Griffiths、V.Guillemin、P.Libermann、E.B.Malgrange、D.Spencer、S.Sternberg、R.Thom的著作）。他们已经证明，为了研究PDE，有必要将其视为适当且结构良好流形的子流形，其中点表示导数（jet-derivative space）。对于偏微分方程理论的表述，喷射导数空间的语言更为自然。对这一重要方面的理解使得在过去20年中，在偏微分方程理论的几乎每个方向上都获得了丰富的结果。另一方面，令人惊讶的是，从事数学分析领域的数学家几乎忽视了所有这些结果的丰富性以及偏微分方程理论中几何方法的强大性。正在审查的这本书介绍了代数拓扑技术，它允许获得非局部解的分类，并建立具有隧道效应的非标准奇异解。它还阐述了格林函数的整体几何理论，允许在纯几何基础上证明偏微分方程的正则量子化。从另一个角度来看，它提供了非交换PDE（quantum PDE）的一般几何理论，适用于量子场论的框架。此外，本书还探讨了上述一般数学公式在数学物理中的一些非常有趣的应用。因此，A.Prástaro介绍的方法可以证明对更广泛的科学家群体有一定的启发，这些科学家致力于在偏微分方程的理论和问题中寻找有趣的观点。这本书分为六章。第1章总结了以下章节中使用的代数几何和代数拓扑的标准定义和结果。第2章以独特的几何结构阐述了偏微分方程理论的新旧方面。这里可以找到一些全新的结果。例如：格林函数的几何整体描述，偏微分方程整体奇异解的bordis群分类。第三章和第四章是关于粒子、刚体和连续体系统的经典力学，所有这些都是作为一个独特的几何物体呈现的。在第五章中，作者对PDE量子化的一些结果进行了说明和推广。他的PDE量化方法是纯粹的几何方法，并基于PDE的形式属性。它还允许获得非线性理论的正则量子化，这是一种与经典PDE在可见光存在下的变形有关的现象。在第六章中，它首次提出了非交换（量子）偏微分方程的几何理论，即建立在非交换流形上的偏微分方程。在这里，作者介绍了量子流形的一个新概念，它对于爱因斯坦在宏观宇宙中所采用的观点的微观世界的扩展具有特殊的效用。对于这样的流形，PDE的几何理论已经形成，它允许将第2章的结果扩展到这个新的非交换情形。宏观水平和微观水平之间的相互作用，即宏观水平上微观现象的观察，通过施加在所考虑的量子流形上的纤维束结构进行几何描述。这种结构的基本流形是普通流形。这些纤维束的部分将普通流形嵌入到量子流形中。这些普通流形上量子几何结构的回调正好解释了在宏观层面上观察微观世界的意义。在这个框架中，作者获得的（co）硼化物理论与偏微分方程中的隧道效应之间的关系也是非常有趣的。还考虑了这一新数学理论在量子超重力中的有趣应用。本章中开发的方法为偏微分方程理论和量子数学物理提供了新的有趣视角。总之，这是一本全面而重要的书，强烈推荐给所有对这个好理论感兴趣的人。审核人：拉西亚斯（雅典） 引用于18文件 数学溢出问题： D’Alembert原理：使用现代微分几何概念的严格公式 MSC公司： 35-02 关于偏微分方程的研究综述（专著、调查文章） 40年第35季度 量子力学中的偏微分方程 81T70型 场论中的量子化；上同调方法 58立方英尺60英寸 PDE与特殊流形结构（黎曼、芬斯勒等）的关系 关键词：量子偏微分方程;格林函数的整体几何理论;偏微分方程的正则量子化;非交换偏微分方程;量子流形;隧道效应 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{A.Prástaro}，PDE几何和力学。新加坡：世界科学（1996；Zbl 0866.35007）