亚德·范德法特;乔恩·韦纳（Jon A.Wellner）。 弱收敛和经验过程。具有统计应用程序。 （英语） Zbl 0862.60002号 统计学中的斯普林格系列纽约州纽约市：施普林格。十六、508页（1996年）。 设（S，{mathcal S}，P）为概率空间，设（X_i:S^N\mapsto S\）为坐标函数，设（P_N=sum^N_{i=1}\delta_{X_i}/N\），（N\in\mathbb{N}\）为“数据”（X_i）的经验测度。开创性的论文V.N.Vapnik（瓦普尼克）和A.是。切尔沃内基斯【理论问题应用16，264-280（1971）；翻译自Teor.Veroyatn.Primen.16，264-279（1971；Zbl 0247.60005号)]关于（P_n-P）（C）在（s）的可测子集的一般类（mathcal C）上一致地在（C）中的a.s.收敛，开创了现代经验过程理论的一个新分支，其研究对象是被视为由一类集合或一类函数索引的过程的经验测度，新颖之处在于设置的通用性：空间（S）不需要是（{mathbf R}）或（{mathbf R}^d），类（mathcal C）不一定是半线等。人们寻求获得极限定理、指数界、经验过程的速率，在类（mathcal C）或类（matchal F）上是一致的。该理论的发展需要将随机变量和向量收敛于随机元素的理论推广到取值于不一定可分离的度量空间（例如，所有有界泛函（{mathcal F}\mapsto{mathbf R}）的度量空间。也许更重要的是，它还需要大量其他更具概率性的材料，其中大部分是早期开发的，用于研究高斯过程的样本路径特性和可分离Banach空间中的概率理论。事实证明，由此发展起来的经验过程理论在渐近统计中有许多用途。尽管仍存在一些问题，但这一经验过程理论分支经过25年的强劲发展，目前已经成熟。范德法特和韦尔纳的这本书对一般经验过程理论及其应用进行了出色的阐述，而且来得正是时候。之前对该理论的部分调查：盖恩斯勒的1993年IMS演讲笔记，D.波拉德《随机过程的收敛》（1984；Zbl 0544.60045号)，课堂讲稿R.M.达德利[在：École d'Étéde probabilités de Saint-Flour XII-1982，Lect.Notes Math.1097，1-142（1984；兹伯利0554.60029)]、审核人和J.津恩[in：概率和巴拿赫空间，Lect.Notes Math.1221，50-113（1986；Zbl 0605.60026号)]和D.波拉德[“经验过程：理论和应用”（1990年；Zbl 0741.60001号)]还有，有点不切题的是M.勒杜和M.Talagrand的《巴拿赫空间中的概率：等高线和过程》（1991；Zbl 0748.60004号).正在审查的这本书分为三个部分：随机收敛、经验过程和统计应用，它还有一个附录，其中包含重要的杂项，如不等式和高斯过程。第一部分“随机收敛”（约80页）完整阐述了法律收敛理论和不一定可测随机元素的概率收敛理论，这些随机元素的值位于不一定可分离的度量空间中。它包含了不可测函数的必要积分，霍夫曼-约根森关于不可测随机元收敛律的定义的主要性质，达德利的几乎一致收敛等。这篇论述的一些重点是普罗霍罗夫定理的新版本，添加了“渐近可测性”的概念，以及Skorokhod-Dudley-Wichura定理。第二部分“经验过程”（约200页）发展了经验过程理论。首先发展了对称化和随机化工具、自变量和的指数不等式、最大不等式和熵界，然后应用这些工具证明了一致大数定律（Glivenko-Cantelli定理）、一致中心极限定理（Donsker定理）、，乘数clt和收敛速度。本文详细介绍了两种主要的假设类型，即Vapnik-Cervonenkis类型和括号类型，并列举了许多有用的例子。不仅对lln和clt中的（f），而且对（P）中的均匀性也进行了处理。本书的这一部分也有一章专门讨论急剧指数界限[主要来自M.塔拉格兰，Ann.Probab。22，第1期，第28-76页（1994年；Zbl 0798.60051号)]. 包含了如此多的例子，尖锐的指数不等式和关于VC类覆盖数的Dudley定理的改进形式[D.豪斯勒，J.Comb。理论，Ser。A 69，第217-232号（1995年；Zbl 0818.60005号)]是这次展览的一些显著特征。既没有处理lln和clt的必要条件，也没有处理重对数律；尽管这些都是理论的重要组成部分，但与作者选择的大多数材料相比，它们不太适用。第三部分“统计应用”（约150页）包括（M）和（Z）估计量、（M）估计量的收敛速度及其应用，例如回归、bootstrap、delta方法、独立经验过程、连续性和卷积以及极小极大定理。也许现代经验过程理论在统计学中的第一个应用是D.波拉德【经济学理论1，295-314（1985）】到（M）-估计。作者对此进行了扩展，包括随后由J.金和D.波拉德【Ann.Stat.18，No.1，191-219（1990；Zbl 0703.62063号)]，并给出了非常好且有趣的示例，如Grenander的单调密度估计、短估计等。它们还介绍了最近的工作，主要是范德格尔【莱顿大学93-06号报告】和L.Birgé和P.马萨特【概率论相关领域97，第1/2期，113-150（1993；Zbl 0805.62037号)]关于筛选和最小对比度估计的方法。经验过程的引导[主要是审核人和J.津恩，Ann.Probab。18，No.2，851-869（1990年；Zbl 0706.62017)]、和J.普雷斯特加德第二作者Ann.Probab。21，第4期，2053-2086（1993；Zbl 0792.62038号)]非常详细地介绍了。与原始作品相比，本演示对随机化的依赖性要小得多，并且它大大提高了它们的可测量性。关于delta方法的章节非常完整，并且包含了非常重要的示例，例如Wilcoxon统计、删失数据的累积风险函数的Nelson-Aalen估计、分位数、copula函数、Kaplan-Meyer和乘积积分等。强调了Hadamard可微性的有用性[参见R.M.达德利例如Ann.Stat.22，No.1，1-20（1994；Zbl 0816.62039号)]关于Fréchet关于（p\）-变差范数的可微性，带速率）。第1部分中普罗霍罗夫定理的版本在卷积定理和极大极小定理的一般形式的证明中有很好的应用。共有六个附录，第一个和第六个附录包含了一组有用的不等式，第二个附录包含全文中使用的高斯过程的所有事实的完整列表，第三个附录包含Rademacher过程，第四个附录包含Talagrand的乘积空间等周不等式之一的证明，第五个具有\（｛\mathbf R｝\）中的一些中心极限定理。每一章都有练习列表，每一部分都以参考书目注释结尾。这本书的前言解释了它试图做的事情：“第一个目标是阐述随机收敛的某些模式……”“第二个目标是利用第1部分中开发的弱收敛理论背景，介绍由集合类和函数类索引的现代经验过程理论的主要组成部分。”“我们的第三个目标是通过广泛的应用来说明现代弱收敛理论和现代经验过程理论对于统计学的有用性。”作者们取得了很大的成功：这本书正是它所要做的。数学统计学家，特别是那些研究渐近理论或使用经验过程的（不一定是渐近的）性质的人，对这本书感兴趣。概率论者和数学统计学家也对它感兴趣。这本书既适合作为参考书，也适合作为研究生的教科书（用于几门课程）。这里不是提出建议的地方；所以，我只想说，我把这本书放在办公室里，放在离桌子最近的架子上。审核人：E.Giné（大学车站） 引用于13评论引用于2665文件 MSC公司： 60-02 概率论相关研究综述（专著、调查文章） 62-02 与统计有关的研究展览（专著、调查文章） 关键词：随机过程;经验过程;法律上的趋同;中心极限定理;不变原理;Glivenko-Cantelli定理;取样 引文：Zbl 0247.60005号;Zbl 0544.60045号;Zbl 0554.60029号;Zbl 0605.60026号;Zbl 0741.60001号;Zbl 0748.60004号;Zbl 0798.60051号;Zbl 0818.60005号;Zbl 0703.62063号;Zbl 0805.62037号;Zbl 0706.62017;Zbl 0792.62038号;Zbl 0816.62039号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{A.van der Vaart}和\textit{J.A.Wellner}，弱收敛和经验过程。具有统计应用程序。纽约州纽约市：施普林格（1996；Zbl 0862.60002）