约翰·安吉洛（John P.D'Angelo）。 几个复变量和实超曲面的几何。 （英语） Zbl 0854.32001号 高等数学研究。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社（ISBN 978-0-8493-8272-7/hbk；978-0-367-40248-8/pbk）。xiii，272页。(1993). 在线性偏微分方程的现代史上，上下划线问题一直是一个很好的问题。从这个理论和相关的思想中，出现了（1）列维的非局部可解偏微分算子理论，（2）伪微分算子，（3）Hörmander的次椭圆平方和算子理论。在复分析中，Kohn对上划线部分Neumann问题的解提供了一种新的、更精确的分析Levi问题的方法，即确定（mathbb{C}^n）中的哪些域是全纯函数存在的自然域的问题。对于多复变量函数理论来说，最重要的是，（上划线部分）-Neumann问题为我们提供了构造具有特定性质的全纯函数的强大方法。列维问题的解决是深刻而困难的；它是在1938-1962年制定的。在各种配方中，其解决方案都是由奥卡、布雷默曼、格劳特、纳拉西姆汉、科恩等人提供的。这项工作的结果是，当我们研究几个复变量的函数理论时，我们研究伪凸域。这里的“伪凸性”是凸性的一个双全态不变版本，适用于复函数理论的研究。事实上，任何伪凸域都可以被更特殊、更稳定的域耗尽，这些域被称为强伪凸。如果一个域的边界是光滑的，并且每个边界点（P）都有一个边界邻域（U），该邻域与一个强凸超曲面是双全形等价的，则该域是强伪凸的。20世纪70年代致力于强伪凸域分析的发展。与此同时，J.J.Kohn在与L.Nirenberg联合工作的基础上，考虑了（上测线部分）-Neumann问题亚椭圆的必要和充分条件。亚椭圆性无疑是现代PDE的一大理念。可以非正式地描述如下：当我们研究拉普拉斯方程的正则性时\[\增量u=f，\]我们希望得到形式的估计\[|u|_{s+2}\leq C|f|_0+|u|_0。\]这里的下标表示一个（s）阶Sobolev空间。注意，估计值证明了二阶算子（Delta）的行为类似于“二阶导数”：因此，解（u）比数据（f）的平滑度高两度。这是经典的强制估计。现在，\（上划线\部分\）运算符是一阶运算符：在函数\（u\）上，\[\上划线\部分u\等式\和^n{j=1}{\部分u\over\部分\上划线zj}d\上划线zj。\]上划线部分问题的解在所研究的域内部满足强制估计（即，平滑度为一阶增益），但在边界处不满足。事实上，最好的估计是\[|u|_{s+1/2}\leq|\overline\partial u|_s+u|0，\]并且（在伪凸域中）该估计仅适用于强伪凸域。在弱（即，非强）伪凸域上，只能期望增益小于1/2。在20世纪70年代初，J.J.Kohn给出了（mathbb{C}^2）中那些域的边界点的特征，在这些边界点附近，（上测线部分）的次椭圆估计成立。这个程序的一部分是他为\（mathbb{C}^2）中的域建立了有限类型的概念。粗略地说，如果一维复解析曲线与边界的接触阶存在先验上界，则（mathbb{C}^n）中光滑有界区域的边界点（P）是有限型的。[还有一个重要的有限类型公式，它只适用于二维，使用向量场的换位子。]结果是，虽然从科恩关于这个主题的早期工作来看并不明显，但要理解高维的有限类型需要更深入的思想：我们必须考虑奇异变种的接触顺序，人们必须学会处理这些品种的多样性。Diederich和Fornæss的一项深入研究表明，在任何维度上，具有实解析边界的有界域都具有有限类型的每个边界点。虽然实际分析域可能并不总是有限类型域的典型，但它们提供了一类重要的示例。约翰·德安杰洛是有限类型概念发展的关键人物之一，他是本书的作者。他确定了高维有限类型的正确公式之一。他证明了一个点的“类型”不是半连续的，但又确立了类型的概念是局部有界的，从而推广了半连续的概念。基于D'Angelo的贡献，David Catlin解决了Kohn的亚椭圆问题，并给出了域边界上那些点的完整特征，在这些域边界附近，（上划线部分）-Neumann问题满足亚椭圆估计。它们正是有限类型的点。有限型概念在全纯映射理论、不变Finsler度量和Kähler度量的研究以及几个复变量的调和分析中也发挥着重要作用。有限型域是几个复变量函数理论的自然场所。正在审查的这本书讲述了我刚才概述的数学故事的全部故事。D'Angelo从几个复变量的全纯函数的基本理论开始，重点是一些代数性质。他接着讨论了真实的超曲面以及各种有限类型概念之间的相互作用。他讨论了上半连续的失败，并证明了该类型的局部边界。有一章是关于Kohn在实际分析案例中证明次椭圆估计的。这是一本意义重大的书。写作风格清晰明了，所提供的示例和解释在其他任何来源中都找不到。这本书写得很仔细，很少有错误。作者提供了一份简短的勘误表。这本书对从事几何分析的工作人员来说很有价值，无论他们的定位是复杂的还是真实的。达安吉洛在本书中所讨论的代数几何在分析中的应用是他为了研究科恩的程序而从整体上发展起来的。这些想法影响深远，并将在其他研究中证明其重要性。我向学生和研究人员高度推荐这本书。审核人：S.G.将军（圣路易斯） 引用于6评论引用于124文件 MSC公司： 32-02 关于几个复变量和分析空间的研究阐述（专著、调查文章） 第32周05 \（上划线部分）和（上划线局部）-Neumann运算符 32B05型 解析代数与推广、准备定理 32B10型 解析集芽，局部参数化 32N15号 对称域中的自守函数 32T99型 伪凸域 关键词：分析变量;\（上划线部分）-Neumann问题;伪凸性;强伪凸;有限型 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.P.D'Angelo}，几个复变量和真实超曲面的几何。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社（1993；Zbl 0854.32001） 全文： 内政部 整数序列在线百科全书： 切比雪夫U（2*n，x）多项式的系数表按（-4*（1-x^2））的递减幂展开。