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罗，W。;鲁德尼克，Z。;P·萨纳克。

关于Selberg特征值猜想。 （英语） Zbl 0844.11038号

地理。功能。分析。 5，第2期，387-401（1995）.
假设\（\Gamma\）是\（\text{SL}（2，\mathbb{Z}）\）的同余子群。假设\（0=\lambda_0<\lambda _1\leq\dots\）是\（L^2（\Gamma\set-nus H）\）上非欧几里德拉普拉斯算子的特征值，其中\（H\）是庞加莱上半平面。1965年，塞尔伯格推测（lambda_1\geq0.25）并证明了（lambda _1\geq 0.1875）。本文证明了（lambda_1\geq 0.21）。Selberg猜想可视为Ramanujan猜想的阿基米德类比，它限定了Maass波型的Fourier系数。非阿基米德猜想取得了更多进展。本文的目的是“恢复平衡，并在一定程度上为阿基米德场所建立在有限场所已知的东西”。给出了Linnik-Selberg猜想在Kloosterman和和相消方面的应用，以及在同余子群的素测地线定理中的误差项方面的应用。对于后者，错误项\（O（x^{3/4}）\）是已知的；看见P.萨纳克【博士论文（斯坦福，1980）】。本论文将（.75）替换为（.7）。这里的自然猜想是一个误差项，对于任何\（\ varepsilon>0 \），其指数为\（.5+\ varepsilon\）。
主要定理的证明使用了各种成分。成分\（\#1\）是Gelbart-Jacquet升降机；看见S.Gelbart公司和H.雅克【《科学学报年鉴》《规范补编》，第四卷第11期，第471-542页（1978年；兹比尔0406.10022)]. 成分是一般线性群的Rankin-Selberg函数理论，如H.雅克，I.皮亚特斯基·夏皮罗和J.A.沙利卡【《美国数学杂志》105，367-464（1983；Zbl 0525.22018号)],F.沙希迪【《美国数学杂志》103、297-355（1981年；Zbl 0467.12013号)]、和C.莫格林和J.-L.Waldspurger公司【《科学学报年鉴》《规范补编》，第四卷第22期，第605-674页（1989年；Zbl 0696.10023号)]. 另一个因素是Deligne对超Kloosterman总和的限制（参见P.Deligne公司，莱克特。数学笔记。569 (1977;兹伯利0345.00010)]. 最后一个成分是扭曲的（L）-函数（L（s，chi）=sum^ infty{n=1}{{b（n）chi（n）}over{n^s}}）的近似函数方程，其中\（chi）是一个原始的非平凡的Dirichlet字符\（text{mod}q\），\（b（n，其中，\（\pi\）是\（\text{GL}（m）\）over \（\mathbb{Q}\）的尖顶自守表示。需要这个近似方程来证明这些扭曲的L函数在给定的点上不会消失。这给出了主要定理，因为扭曲的Rankin-Selberg（L）-函数的伽马因子的形式。
作者注意到，如果人们知道，对于任何不可约的尖点自守表示\（\pi\）和任何具有\（\text{Re}（\beta）>0）的\（\beta\），都存在一个偶数Dirichlet字符，即\（L（\be塔，\pi\otimes\chi）\neq 0），那么完整的Selberg猜想（或Ramanujan猜想）就会遵循。许多人已经调查过此类问题（例如，g.Shimura、H.Iwaniec、L.Barthel和D.Ramakrishnan）。
当有理数域被一个数域取代时，就有可能得到本文中的估计。这将出现在未来的论文中。
审核人：A.A.Terras（拉霍拉）

引用于7评论
引用于96文件

理学硕士：

11楼72 谱理论；跟踪公式（例如，塞尔伯格的公式）
第35页 偏微分方程背景下特征值的估计
11升05 高斯和克罗斯特曼总和；概括

关键词：

塞尔伯格特征值猜想;同余子群的非欧氏拉普拉斯特征值;Kloosterman总和;素测地线定理;误差项;Gelbart-Jacquet升降机;（L）-函数的Rankin-Selberg理论;超Kloosterman和的界;近似函数方程;扭曲的Rankin-Selberg函数;拉马努扬猜想

引文：

Zbl 0406.10022号;兹伯利0525.22018;Zbl 0467.12013号;Zbl 0696.10023号;Zbl 0345.00010号
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\textit{W.Luo}等人，Geom。功能。分析。5，第2号，387--401（1995；Zbl 0844.11038）
全文： 内政部 欧洲DML

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