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Gadyl’shin，R.R。

关于薄分支物体的本征频率。二： 渐近。 （英语。俄文原件） Zbl 0839.35091号

数学。笔记 55，第1期，14-23页（1994年）; 翻译自Mat.Zametki 55，No.1，20-34（1994）。
在[数学注释54，No.6，1192-1199（1993）；翻译自Mat.Zametki 54，No.6，10-21（1993；兹伯利0829.35088)]我们研究了由两部分组成的（n维）体的本征频率：一个固定的有界体积（Omega）和一个薄的圆柱分支（kappavarepsilon）邻接于（Omegah）且具有有限长度（h）\（\varepsilon\ll 1）是（\kappa_\varepsilon\）部分的“直径”（（\Omega_\varebsilon\）的精确定义如下）。该问题的数学表述简化为以下关于特征值的边值问题：\[\开始{alizedat}{4}（\Delta+\lambda_\varepsilon）\psi_\varesilon&=0，&\quad x&\in\Omega_\varelpsilon&\quad\partial\psi_\varepsilon/\partial\nu&=0，&\quad x&\in\partial \Omega_\varebsilon，\tag{1}\\（\Delta+\lambda_\varemasilon）\psie\varepsilon&=0&\quad\psi_\varepsilon&=0，&\quad x&\in\partial\Omega_\varebsilon，\tag{2}\end{alizedat}\]其中，\（\nu\）是与\（\Omega_\varepsilon\）垂直的外部。边值问题（2）对应于固定体，问题（1）对应于具有自由边界的体。本征值（λ_varepsilon）是相应本征频率的平方。在[loc.cit.]中，证明了当减小分支截面的直径时，问题（2）的所有有界特征值收敛到（Omega）中Laplace算子Dirichlet问题的特征值集。相反，如果\（\lambda_0\）是\（\Omega\）中Dirichlet问题的\（q\）-重特征值，则收敛到\（\lambda_0）的（2）的特征值的总代数重数也等于\（q）。但对于问题（1），情况则大不相同：由于（varepsilon到0），这个问题的特征值收敛到域（Omega）中拉普拉斯算子的Neumann问题的Neuman问题特征值集（Sigma^nu）和集（Sigra^{ch}={mu_m=（\pi（2m-1）/（2h））^2}^infty{m=1}\)这是以下Sturm-Liouville问题的特征值集：\[u’’+\mu u=0，\quad-h<t<0，\quid u’（-h）=u（0）=0。\]本文利用渐近展开的一致性方法，构造了（mathbb{R}^3）中边值问题（1）和（2）的特征值（lambda_varepsilon）相对于小参数（varepsilen）的渐近性。我们考虑这样的情况，其中特征函数的极限值为\（lambda_0\ in \Sigma^\nu_1\backslash\Sigma ^{ch}\）、\（labmda_0\ in\Sigma-{ch}\backsrash\Sigram^\nu\）和\（lamda_0\ in \ widetilde\ Sigma_1\），其中\分别是（Omega）中Neumann和Dirichlet问题的一阶特征值集。

引用于1审查
引用于6文件

MSC公司：

35页20 偏微分方程背景下特征值的渐近分布
35J05型 拉普拉斯算子、亥姆霍兹方程（约化波动方程）、泊松方程

关键词：

特征值上的边值问题;拉普拉斯算子的Dirichlet问题;拉普拉斯算子的Neumann问题;Sturm-Liouville问题;特征值的渐近性;本征函数的极限值

引文：

Zbl 0829.35088号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{R.R.Gadyl'shin}，数学。注释55，第1、1号（1994；Zbl 0839.35091）；翻译自Mat.Zametki 55，No.1，20-34（1994）
全文： DOI程序

参考文献：

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