安德烈亚斯·布亚;B.F.洛根。;J.A.里兹。;洛杉矶谢普。 多维标度问题产生的不等式和正定函数。 （英语） Zbl 0834.62060号 Ann.统计。 22，第1号，406-438（1994）. 摘要：我们解决了以下变分问题：求受（E|X|^2\leq 1）约束的\（E|X-Y|\）的最大值，其中\（X\）和\（Y\）是i.i.d.随机\（n\）-向量，\（|\cdot|\）是\（mathbb{R}^n\）上常见的欧氏范数。这个问题源于对多维标度的调查，多维标度是一种可视化邻近数据的数据分析方法。我们证明了对于（n=2），最优（X）是唯一的，并且（1）在单位球面的表面上是一致的，对于（n=3），（2）与径向密度的标度形式（rho/（1-rho^2）^{1/2}），（0\leq\rho\leq1）圆对称，对于（n=1），并且（3）在以原点为中心的区间上是均匀的（Plackett定理）。通过证明解的球对称性，实现了径向问题的简化。然后使用（实）（n<3）的Wiener-Hopf技术找到解决方案。这些结果让人想起经典势理论，但不能归结为经典势理论。在此过程中，我们获得了独立的结果：对于任意i.i.d.随机向量（X）和（Y），\[E|X-Y|\leq E|X+Y|。\]此外，内核\[K_{p，\beta}（x，y）=|x+y|_p^\beta-|x-y|_p ^\beta，\quad x，y\in\mathbb{R}^n\qquad\text{和}\quad|x|_p=\bigl（\sum|x_i|^p\bigr）^{1/p}，\]是正定的，也就是说，它是一个随机场的协方差，对于某些实值随机过程（Z（x）），对于（1\leqp\leq2）和（0<beta\leqp\ leq2。虽然这是已知结果的简单结果，但从严格意义上来说，这似乎是新的。在径向问题中，半径为r_1和r_2的两个球体之间的平均距离D（r_1，r_2）用作核。我们导出了D（r_1，r_2）的性质，包括零积分符号测度的非负确定性。 引用于1审查引用于17文件 MSC公司： 62小时99 多元分析 第26天10 涉及导数、微分和积分算子的不等式 62M99型 随机过程推断 42A82型 单变量谐波分析中的正定函数 45E10型 卷积型积分方程（Abel、Picard、Toeplitz和Wiener-Hopf型） 关键词：最大预期距离;变分问题;多维缩放;球面对称性;Wiener-Hopf技术;势理论;非负确定性;零积分的有符号测度 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit｛A.Buja｝et al.，Ann.Stat.22，No.1406-438（1994；Zbl 0834.62060） 全文： 内政部