莫里斯·奥斯兰德;伊顿·里顿;斯马洛伊（Smalö）、斯维雷·奥·斯马勒（Sverre O.）。 Artin代数的表示理论。 （英语） Zbl 0834.16001号 剑桥高等数学研究. 36. 剑桥：剑桥大学出版社。xiv，423页（1995年）。 Artin代数的表示理论作为模理论的重要组成部分，在过去的25年中发展起来。它发展迅速，已经成为一个独立的研究领域，在模理论、环理论、积分表示理论、阿贝尔群理论、量子群理论以及李群和代数的表示理论中有许多重要而深入的应用。它与许多非代数理论也有非常重要的联系，包括模的模型理论和代数几何[参见W.盖格尔和H.冷冻，代数杂志144273-343（1991；Zbl 0748.18007号)]和E.布里斯科恩[发明数学.4336-358（1968；Zbl 0219.14003号)].布劳尔-特拉尔猜想和G.Köthe和R.布劳尔在本世纪第三和第四个十年研究的经典分解问题在理论发展中发挥了重要作用C.M.林格尔，莱克特。数学笔记。831, 104-136 (1980;Zbl 0444.16019号)].奥斯兰德、雷滕和斯马洛伊的这本书是关于这一主题的首批教科书之一。它为我们提供了对Artin代数表示理论的基本、系统、齐次和极好的介绍。本书的主要目的是介绍建立在几乎分裂序列基础上的理论部分，这是M.Auslander和I.Reiten在1974-75年提出的概念。然而，这本书还发展了一种箭图线性表示的现代技术，包括关系及其作为箭图路径代数的因子代数上的模的解释。这本书还没有涵盖理论的其他重要方面，例如偏序集的表示、向量空间范畴、bocses、Galois覆盖技术、积分表示理论、倾斜理论、导出范畴、同调有限子范畴、tame和wild代数以及准遗传代数。其中一些在以下书籍中介绍：D.J.本森[“陈述与同调”（1991年；Zbl 0718.20001号)],C.W.柯蒂斯和I.雷纳[《表征理论方法》（1990；Zbl 0698.20001号)],于。德罗兹德和V.V.基里琴科[《有限维代数》，附“拟遗传代数”附录V.实验室(1994;Zbl 0816.16001号)],P.加布里埃尔和A.V.Rojter公司[“有限维代数的表示”，代数VIII，Encycl.Math.Sci.73（1992）]，D.哈佩尔[《有限维代数表示理论中的三角范畴》（1988；Zbl 0635.16017号)],C.U.延森和H.冷冻[《模型理论代数》（1989；Zbl 0728.03026号)],M.普雷斯特[《模型理论与模块》（1988；Zbl 0634.03025号)],C.M.林格尔[《驯服代数与积分二次型》（1984；Zbl 0546.16013号)],D.西蒙森[《偏序集的线性表示与向量空间范畴》（1992；Zbl 0818.16009号)].自始至终，我们假设\（R\）是一个具有单位元的结合环。我们记得，如果中心\（Z（R）\）是交换artinian环，并且\（R\）是\（Z（R）\）上的有限生成模，则\（R\）是Artin代数。特别地，域（K）上的每个有限维代数（R）都是一个Artin代数。我们总是假设（R）是连通的，也就是说，（R）没有分解成两个代数的乘积。Artin代数表示理论的主要目的之一是描述有限生成右（R）模范畴（text{mod}（R））的结构。特别地，我们感兴趣的是描述和分类（text{mod}（R））中的所有不可分解模（X\）直到同构，它们的自同态（局部）代数（text{End}（X）），阿贝尔群（text{喇叭}_R（X，Y）和（\text{Ext}^1_R（X，Y\）被视为End\（Y）\）-End\（X）\）-每对\（X\），\（Y\）中不可分解模的双模。该理论是在简单右（R\）-模和不可分解投射右（R~）-模被同构的假设下发展起来的。我们还对描述范畴（text{mod}（R））的雅各布森根式（text{rad}（text{mode}R））感兴趣，根式幂序列\[\text{rad}（\text{mod}R）\supseteq\text{rad{^2（\text}mod}R）\sepseteq\text{rad_^3\]和商\（\text{rad}^j\text{mod}（R）/\text{rad}^{j+1}\text{mode}（R）\），\（j\geq 1），其中\。我们回忆起，\（text{rad}（\text{mod}R）\）是\（text{mod}（R）\中所有双边理想的交集，并且给出了\（text}mod}，R）中的两个不可分解模\（X\）和\（Y\），同态\（f:X\到Y\）属于\（\text{rad{（\text}，R\）当且仅当\（f\）不是同构。由此，对商\（text{rad}（text{mod}R）/\text{rad{^2（text{mode}R）\的描述引出了对（R）的Auslander-Reiten平移箭矢\（（Gamma_R，tau）\）的描述，其顶点是\（text{mod}（R）\）中不可分解模\（X）的同构类\（[X]\），并且有一个箭头\（[X]\至[Y]\）在\（\Gamma_R\）中当且仅当存在不可约同态\（X\到Y\）。这里是Auslander-Reiten的翻译。该理论的技术目标之一是找到一个简单的结构，允许我们从给定的模中产生新的不可分解模，从而从简单模和不可分解投射模中产生\（text{mod}（R）\中的所有不可分解模块，前提是\（R）是有限表示类型，即：，（text{mod}（R））中不可分解模的同构类的数目是有限的。我们还感兴趣的是通过在\（text{mod}（R）\）中的不可分解模之间构造同态的最小生成集来描述\（text{mod}-（R））中的所有同态，使得\（\text{mod}-R）\中的每个同态都是该生成集中同态组成的线性组合。由Auslander、Reiten和Smalö撰写的这本书是对该理论的完美介绍，它提供了基本有用的有效工具和理论结果，使我们能够解决上述问题，至少对于有限表示类型的代数而言。主要工具有：Auslander转置、Auslander-Reiten翻译、不可约形态、短精确序列类（*）：（0到X到Y到Z到0）在\（\text{mod}（R）\）中称为几乎分裂序列，以及Auslande-Reiten翻译箭矢\（（Gamma_R，\tau）\）的\（R）。它们在第4、5和7章中介绍。我们回忆起，具有不可分解模\（X）和\（Y）的非分裂序列（*）被称为几乎分裂序列，如果不是可分裂满态的\（text{mod}（R）\）中的每个同态\（g:U到Z）都通过\（Y到Z）进行因子分解。平移（τ）的定义方式是，当（X）和（Z）显示为几乎分裂序列（*）的结束项时，（τZ\cong X）。给出了R为有限表示型的判据。特别是在第6章中，当且仅当Auslander-Reiten平移箭矢（（Gamma_R，tau））包含有限连通分量时，连通Artin代数（R）是有限表示类型。第7章介绍了有关Auslander-Reiten平移颤动（（Gamma_R，tau））连接组件形状的基本事实。几乎分裂序列、不可约态射和Auslander-Reiten平移箭图的概念在本书中得到了详细介绍和讨论，主要涉及范畴的根（text{mod}（R））和有限表示型代数。重点讨论了Nakayama代数、自内射代数、群代数、斜群代数和遗传代数的表示理论。在\（R\）是遗传的情况下，第8章介绍了应用预投射模、预投射模、有值颤动技术、相关的二次型、Weyl群、根系统和Coxeter变换的想法。特别地，证明了连通遗传Artin代数是有限表示型的当且仅当关联的值箭图是Dynkin图。尽管在（R）是遗传的情况下包含了关于（Gamma_R，tau）正则分量的一些信息，但本书中详细介绍的唯一表示无限代数及其表示理论是遗传Kronecker代数。在第九章中，研究了方向模、短链、短环、真诚模以及由它们的构成因子决定的模。第十章研究了代数的稳定等价性。特别地，研究了根平方为零的代数和稳定等价于对称Nakayama代数的代数。我们回忆起，如果两个代数的稳定模范畴（下划线{text{mod}}（R））和（下划线}（T））是等价的，则称这两个代数是稳定等价的，其中（下划线｛text{mod{}}\)由通过投射模分解的所有同态组成。这本书在第11章结束，内容是关于确定语态的模块和由模块确定的语态。这本书有大量参考书目。每一章后面都有一套练习，还有一套简短但内容丰富的笔记和备注。这本书以一系列猜想和开放性问题结尾。这本书写得很好，很受欢迎。它以清晰、易用的形式呈现基础材料，为该领域提供了巨大的服务。它很好地说明了几乎分裂序列和Auslander-Reiten技术在Artin代数表示理论中的作用。这本书的第一部分极好地介绍了这门学科的基本方面。它适合任何想要简要介绍这个活跃领域的数学家（包括研究生）。它将成为该主题课程的优秀文本。审核人：D.Simson（托伦） 引用于19评论引用于1058文件 数学溢出问题： 寻找非连通不可分解自内射有限维代数 MSC公司： 16-02 关于结合环和代数的研究综述（专著、调查文章） 16国集团10 结合Artinian环的表示 16G70型 Auslander-Reiten序列（几乎分裂序列） 16G20峰会 箭图和偏序集的表示 16G60型 结合代数的表示类型（有限、驯服、狂野等） 16E30型 结合代数中模（Tor、Ext等）上的同调函子 第16天90分 结合代数中的模范畴 关键词：Artin代数的表示理论;布劳尔-特拉尔猜想;几乎分裂序列;箭袋的表示;箭矢的路代数;有限维代数;有限生成右模;不可分解模;雅各布森根;平移颤动;不可约同态;Auslander-Reiten翻译;有限表示类型;Nakayama代数;自内射代数;群代数;遗传代数;稳定等价 引文：Zbl 0748.18007号;Zbl 0219.14003号;Zbl 0444.16019号;Zbl 0718.20001号;Zbl 0698.20001号;Zbl 0816.16001号;兹伯利0635.16017;Zbl 0728.03026号;Zbl 0634.03025号;Zbl 0546.16013号;Zbl 0818.16009号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{M.Auslander}等人，Artin代数的表示理论。剑桥：剑桥大学出版社（1995；Zbl 0834.16001）