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Ol’shanskij，A.Yu。

关于双曲群的剩余同态和（G）-子群。 （英语） 兹比尔08320053

国际代数计算杂志。 3，第4号，365-409（1993）.
设（G）是词双曲群，（H）是（G）的子群。作者将（H）定义为Gromov子群或更简单地说是（G）-子群，如果（H）是非初等的（也就是说，（H）不是循环群的有限扩张），并且如果对于任何有限子集（M子集G），存在（G）的非初等双曲商（G_1），使得自然映射（G到G_1和\（M\）上的内射。正如作者指出的那样，在《双曲群》一文中有一个错误的陈述【Publ.，Math.Sci.Res.Inst.8，75-263（1987；Zbl 0634.20015)]第页，共页M.格罗莫夫它声称双曲群的任何非初等子群都是\（G\）-子群。作者给出了一个他在1989年定义的群的反例，以及另一个例子，该例子表明，即使在给定的有限子集（M）上不需要内射性，所讨论的结果也是错误的。本文的目的实际上是给出与这些问题有关的双曲群子群的不同结果。
主要结果如下。设（G）是一个非初等双曲群。然后：定理1。设\（H\）是\（G\）的非初等子群，\（E（H）\）是G\中的元素集\（x\），使得\（H\）通过共轭作用于\（G\）上的\（x\）的轨道是有限的。那么，（H）是一个（G）-子群当且仅当（E（H）=E（G）），对于每一个（G\），对于每个（E\（G）中的每一个），都存在一个元素\（H\），其中\（gag^{-1}=hah^{-1{）。
定理2。设（H_1，\dots，H_k\）是\（G\）的（G\。然后，对于任意有限子集（M\子集G\），存在（G\）的商（G_1\），使得：（1）（G_1）是一个非初等双曲群；（2） 自然同态（varepsilon_1:G到G_1）在（M）上是内射的，在每个子群（H_1，dots，H_k）上是满射的；（3） \（\varepsilon_1\）-来自\（M\）的元素的图像在\（G_1\）中是共轭的当且仅当元素在\（G \）中共轭时；（4） 每个（M中的a）的扶正器（C_{G_1}（\varepsilon_1（a））是扶正器的映像；（5） \（\text{Ker}\varepsilon_1\）是无挠子群；（6） \（varepsilon_1\）分别在\（G\）和\（G_1\）中有限阶元素的共轭类集合上诱导了一个双射映射；（7） 子群（H_1'，点，H_{k'}'）的像是非初等的。
定理3。设（E_0）是（G\）的一个极大初等子群，设（C\）是\（E_0。然后存在一个整数（m_0=m_0（G，E_0，m）），使得任何（m_geqm_0）都有一个商（G_1），使得（1）（G_1\）是一个非初等双曲群；（2） 自然同态（varepsilon_1:G到G_1）在（M）上是内射的；（3） 图像（varepsilon_1（E_0））与商（E_0/C^m）同构；（4） （G_1）中的每一个有限级元素都是在（G）中具有有限级元素的映象，或者它与（varepsilon_1（E_0））的元素共轭；（5） \（\text{Ker}\varepsilon_1\）无扭转；（6） 如果\（m\）是偶数或\（G\）没有顺序的非中心元素\（2^k\），那么\（m\）元素的\（varepsilon_1）-映象在\（G_1）中共轭当且仅当它们在\（G）中共轭；（7） 如果\（G）有顺序为\（2^k）的非中心元素，那么对于每一个\（M中的a\），中心化器\（C_{G_1}（\varepsilon（a））是中心化器（C_G（a）\）的\（varepsilen_1\）-映像。
定理4。假设\（G\）满足以下拟恒等关系：\（（对于G中的所有x，y\）\；x^2y=yx^2\右箭头xy=yx\）。假设\（G\）的每个非初等子群都是\（G\）-子群，并且定理2（分别为奇数\（m\geqm_0）\的定理3）的假设成立。然后，我们可以在定理2（对应定理3）的陈述中加上，即（G_1）满足拟恒等关系，即（E（G_（1））是（E（G）的自然映象，并且（G_ 1）的所有非初等子群都是（G_）-子群。此外，如果（G_1）的所有交换子群都满足相同的条件，则它们都是循环的。
审核人：A.帕帕佐普洛斯（斯特拉斯堡）

引用于三评论
引用于81文件

MSC公司：

20F06年 群体消解理论；van Kampen图的应用
20F05型 组的生成器、关系和表示
20层65 几何群论
20E26型 剩余性质和推广；剩余有限群
20E07年 子群定理；子群增长

关键词：

van Kampen图表;词双曲群;Gromov子组;非初等双曲商;双曲群的子群;非初等子群;扶正器;共轭类;有限阶元;极大初等子群;无限循环正规子群;拟恒等式

引文：

Zbl 0634.20015
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\textit{A.Yu.Ol’shanskij}，《国际代数计算》。3，第4号，365--409（1993；Zbl 0830.20053）
全文： 内政部