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Vladimirov，V.S。;I.V.沃洛维奇。;E.I.泽列诺夫。

\（p）-adic分析和数学物理。 （英语） 兹伯利0812.46076

苏联和东欧数学系列1.新加坡：世界科学（ISBN 981-02-0880-4/hbk）。十八、319页（1994年）。
这本书介绍了数学物理的一个新分支。为了解释标题，回想一下，字段\（K\）的赋值是一个映射\（|\，|：K\到[0，\infty）\）满足\（|x|=0\）iff\（x=0\问题\）Ostrowski定理本质上只存在普通的绝对值（|\，|\），对于每一个素数（p\），如果（inmathbbZ\）不能被（p\，（p|_p=p^{-1}）整除，则由（n|_p=1\）确定的（p\-adic赋值（|，|_p\）。
从序列（1，2，3，dots\）有界的意义上讲，\（p\）-根值字段\（mathbb Q\）及其补全\（mathbb Q_p\），即\（p~）-根数的字段是“非阿基米德”的。这就是为什么“（p）-adic分析”与实数或复数分析如此不同。在过去的几十年里，基本分析得到了繁荣，并吸引了来自各个学科的数学家。1984年，前两位作者发表了一篇论文【Theor.Math.Phys.59，317–335（1984）】；翻译自Teor.Mat.Fiz.59，3–27（1984；Zbl 0552.46023号)]已经将基本分析引入数学物理。有了这本书，数学界第一次可以轻松访问。
作者的动机有两个基本考虑。首先，有人提到，在量子引力和弦理论中，所有可能的距离测量都有一个正下限，即所谓的普朗克长度，约为10^{-33}厘米。这意味着人们应该放弃实数的阿基米德公理，该公理本质上说，两个尺度可以在较小的长度上进行比较。其次，指出实际行动的结果只能用有理数表示。这一点，再加上上述奥斯特洛夫斯基定理，或多或少自然而然地导致了一种观点，即\（p\）adic数可以成为普朗克尺度下物理模型的工具。
前两章讨论了可能对物理学有用的基本分析。这里可以观察到两种观点之间的一些摇摆：应该使用函数（mathbb Q_p到mathbb Q-p）（那么积分是一个问题）还是函数（mathbb Q-p到mathbb C）（现在可以使用Haar度量进行积分，但微分失败）？事实证明，大多数注意力都集中在a（p）-adic域上的复值函数上。[在这种情况下，我们不能忽视A.科伦尼科夫数学系统中的，（p\）-adic值分布。多德雷赫特：Kluwer（1994；Zbl 0833.46061号)，处理同一主题，但也强调\（mathbb Q_p\）值函数。]
第1章包含了基础知识，（mathbb Q_p）上加法和乘法（复数）字符（chi_p）的Pontryagin对偶性及其二次扩张（mathbbQ_p（sqrtvarepsilon））（似乎不需要（p）-adic复数域（mathbbc_p））。得到了（int{mathbbQ_p}chi_p（ax^2+bx），dx）型高斯积分的公式。讨论了分布理论、傅里叶理论、广义函数在（mathbb Q^n_p）上的卷积。测试函数空间的作用由所有局部常量函数的集合（mathcal D\）接管，并具有紧凑的支持。
第二章以伪微分算子（D^alpha）（（alpha>0））和原始化算子（D*alpha（））（（alpha<0））的形式对函数（mathbb Q_p到mathbb C_p）的微分进行了替换。如果在{mathcal D}中为\（psi\），则\（D\）的形式为\（（D\psi）（x）=\int_{mathbb Q_p}|\xi|_p\widetilde\psi（\xi）\chi_p（-\xi x）\，D\xi\）。在这两章中都进行了大量的例子和具体的计算。
最后一章大量使用了前面两章的机制，并讨论了（p）-基量子力学及其谱理论、Weyl系统、（p）-adic串、量子群和（q）-分析、（p”-adic数上的随机过程。它对经典力学和量子理论中现有的形式主义进行了大胆的数学翻译。由此产生的理论是“有效的”还是“有用的”，这个问题仍然悬而未决，当然，最终的答案留给物理学家。
审核人：维姆·希霍夫（奈梅亨）

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MSC公司：

46S10号 除（mathbb{R}）或（mathbb{C}）和四元数以外的域上的泛函分析；非阿基米德函数分析
2002年6月 与功能分析相关的研究综述（专著、调查文章）
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81问题65 替代量子力学（包括隐藏变量等）
26E30年 非阿基米德分析
11S80型 其他分析理论（β和γ函数的类似物，\（p\）adic积分等）
2006年8月30日 非阿基米德函数理论

关键词：

布鲁哈特分布理论;普朗克天平;\（p\）-adic分析;高斯积分;傅里叶理论;广义函数的卷积;\（p\）-adic量子力学;光谱理论;Weyl系统;\（p\）-adic字符串;量子群;\（q）-分析;随机过程

引文：

Zbl 0552.46023号;Zbl 0833.46061号
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\textit{V.S.Vladimirov}等人，基本分析和数学物理。新加坡：世界科学（1994；Zbl 0812.46076）