罗纳德·米肯斯（Ronald E.Mickens）。 微分方程的非标准有限差分模型。 （英语） Zbl 0810.65083号 新加坡：世界科学。xi，249页（1994）。 本书的目的是为微分方程的数值积分找到有限差分格式，其中真正的解是离散方程的精确解，或者当这不可能实现时，精确解和离散解的定性行为相似。特别是，这两个解应满足相同的稳定性，并且有限差分格式不应具有连续解中不存在的不稳定性。第一章给出了一些简单的常微分方程和偏微分方程的标准差分格式。第2章讨论了当步长超过一定大小时，或在某些情况下步长超过零时，出现的数值不稳定性。对单向波动方程的格式进行了讨论，表明其精确解可以满足有限差分格式。不分析数值稳定性。第三章介绍了一些非标准的有限差分格式，指出在一个n阶线性微分方程的情况下，线性无关的解可以用来寻找一个精确的n阶线性差分方程，该方程的任何解都能精确满足。当然，这个差分方程与任何标准的有限差分格式都不一致。在推导了几个这样的精确格式之后，给出了离散模型的五条构造规则，并证明了它们在非线性振子和非线性扩散问题中的应用。第4章考虑自治的一阶方程，以期将差分格式的稳定性与微分方程在其不动点附近的稳定性相匹配。与传统的有限差分方法一样，这需要了解不动点处的（f_y）。第5章研究二阶非线性振子，以及建模小参数渐近展开的非线性扰动的可能性。第6章研究一阶方程的耦合对。第7章讨论偏微分方程，重点是再现可分离解。空间和时间步长之间的关系相当不明确，粗心的读者可能会选择两者，从而导致不稳定或与原始方程不一致。第8章从简单方程（u_t=iu{xx}）开始讨论薛定谔方程。空间导数的特征值是纯虚的，因此标准格式是无条件不稳定的。不幸的是，提出的方法与（u_t=（1+i）u{xx}）一致。第9章总结了前几章，并再次审视了第3章中提出的规则。最后给出了另外两个例子，其中一个例子是由Weierstrass椭圆函数（wp（z））满足的微分方程，它说明了该方法的兴趣和局限性：存在一个精确的离散格式，但它需要了解（wp，h），其中（h）是步骤。这本书没有讨论后验误差界或对一般微分方程组的应用。没有数字示例。审核人：J.D.P.唐纳利（牛津） 引用于17评论引用于372文件 MSC公司： 2006年6月65日 含偏微分方程初值和初边值问题的有限差分方法 65-02 与数值分析相关的研究展览（专著、调查文章） 65L20英寸 常微分方程数值方法的稳定性和收敛性 65升12 常微分方程的有限差分和有限体积法 65个M12 含偏微分方程初值和初边值问题数值方法的稳定性和收敛性 55年第35季度 非线性薛定谔方程 34A34飞机 非线性常微分方程和系统 35K55型 非线性抛物方程 35升60 一阶非线性双曲方程 关键词：稳定性;数值不稳定性;波动方程;非标准差分格式;线性差分方程;非线性振荡器;非线性扩散;非线性扰动;渐近展开;一阶方程;不一致;薛定谔方程 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{R.E.Mickens}，微分方程的非标准有限差分模型。新加坡：世界科学（1994；Zbl 0810.65083）