迈克尔·拉特扬;安德烈亚斯·魏尔曼 关于Kruskal定理的证明论研究。 （英语） 兹伯利0786.03042 Ann.纯粹应用。逻辑 60，第1号，49-88（1993）. 逆向数学的一个思想是：为了证明定理（varphi）不能在理论Th中导出，在弱理论Tw中表明，（varphi\）暗示序数表示系统Oz的良好性，从中可以推断出Th的一致性。在本文中，（varphi）是Kruskal定理，即有限树集在可嵌入性方面是一个良好的拟序。S.G.辛普森显示了[Arch.Math.Logik Grundlagenforsch.25，45-65（1985；Zbl 0598.03045号)]继H.Friedman之后，这个定理意味着所有小于（Gamma0）的序数系统的有序性，这是谓词分析的证明理论序数。他说，一方面，还有更大的序数，克鲁斯卡尔定理可以证明它们的有序性，但另一方面，克鲁斯卡定理可以在系统（Pi^1_2-text）中证明{TI}_0\）具有某种更大的证明理论序数。本文对克鲁斯卡尔定理的理论强度进行了精确的证明。它由所谓的Ackermann序数表示，它是用纸的符号写的（vartheta\Omega^\Omega）。这个序数在重写理论中也起着重要作用。让\（\text{ACA}_0）是具有算术理解能力的形式系统。这是上面的薄弱理论。在审查的论文中，显示了{ACA}_0\）Kruskal定理和\（\text｛WF｝（\vartheta\Omega^\Omega）\）的等价性，即Ackermann序数的良好基础，是可导的。进一步证明了\（\vartheta\Omega^\Omega）是系统\（\Phi^1_2-\text{BI}）_0的证明理论序数{ACA}_0+\Pi^1_2-\text{BI}），\（\Pi^2_2-\text{BI}\）是用于\（\prec\in\Pi^1_0\）和\（\varphi\in\Pi^1_2\）的方案\（\text{WF}（\prec）\Rightarrow\text{TI}（\ prec，\varphi）。这意味着在（Pi^1_2-\text{BI}）_0中不可能导出（text{WF}（vartheta\Omega^\Omega））或Kruskal定理。在系统\（Pi^1_2-\text{BI}）中，通过添加二阶算术公式的归纳模式，由\（Pi ^1_2-\text{BI}）_0产生，\（text{WF}（\vartheta\Omega^\Omega））是可以证明的，但这个系统更强大，因为它的序号是\（\varheta\Ometa^{\varepsilon_0}）。（Pi^1_2-\text{BI}）_0的一致反身原理{RFN}_{\Pi_1^1}（（\Pi_1_2-\text{BI}）_0）具有与Kruskal定理相同的强度。这意味着\[\对于所有n（\text{优先}_{（\Pi_2^1-\text{BI}）_0}（\text{gn}（\varphi（\bar n））\Longrightarrow\varphi（n）），\]其中，\（\varphi\）是一个最多有一个自由变量的\（\Pi^1_1）-公式，\（\text{优先}_{（\Pi_2^1-\text{BI}）_0}）是表示可证明性的\（\Sigma^0_1）可证明性谓词，它用\（\Pi^1_2-\text{BI}）\0）表示，\（\barn）是与自然数\（n）相对应的形式项，\（\text{gn}（\varphi）\）是\（\varfi）的哥德尔数。所述结果或多或少得到了详细证明。对所使用的序数的指称系统进行了全面的描述。为了确定证明论序数，应用已证明的方法将要研究的系统嵌入到具有\（\Omega\）-规则的半形式系统中，该半形式系统的序数可以通过众所周知的方法计算。此过程还允许确定\（\text的证明理论序数{ACA}_0+\Pi^1_ n-\text{BI}\）和\（n>2\）。审核人：H.Pfeiffer（汉诺威） 引用于6评论引用于54文件 MSC公司： 20层03 证明的复杂性 35楼03号 二阶和高阶算术和片段 2015年1月3日 递归序数和序数符号 关键词：序数分析;逆向数学;克鲁斯卡尔定理;有限树;良好准序;谓词分析;验证理论强度;阿克曼序数 引文：Zbl 0598.03045号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{M.Rathjen}和\textit{A.Weiermann}，Ann.Pure Appl。逻辑60，编号1，49-88（1993；Zbl 0786.03042） 全文： 内政部 参考文献： [1] 布赫霍尔茨，W。；Schütte，K.，《实证分析子系统的证明理论》（1988），《图书馆：那不勒斯图书馆》·Zbl 0653.03039号 [2] 北卡罗来纳州德肖维茨。；Okada，M.，术语重写理论的证明理论技术，第三届计算机科学逻辑年度研讨会论文集，104-111（1988），苏格兰爱丁堡 [3] Gallier，J.H.，Kruskal定理和序数（Γ_0）有什么特别之处？《证明理论中一些结果的综述》，Ann.Pure Appl。逻辑，53，199-260（1991）·Zbl 0758.03025号 [4] Pohlers，W.，《证明理论：导论》，数学课堂讲稿。，1407（1990），《施普林格：柏林施普林格》·Zbl 0635.03053号 [5] Rathjen，M.，Kripke-Platek无穷集理论的片段，利兹证明理论，90（1990），剑桥大学出版社：剑桥大学出版社·Zbl 0791.03031号 [6] Schmidt，D.，《井-部分序及其最大序类型》（1979年），《Habilitationsschrift:Habilitionsschrift Heidelberg》 [7] Schütte，K.，证明理论（1977），施普林格：施普林格柏林·兹伯利0367.02012 [8] 舒特，K。；Simpson，S.G.，Ein in der reinen Zahlenthorie unbeweisbarer Satzüber endliche Folgen von natürlichen Zahlen，Archiv-Math。Logik Grundlag.公司。，25, 75-89 (1985) ·Zbl 0591.03041号 [9] Schwichtenberg，H.，《证明理论：删减的一些应用》，（Barwise，J.，《数学逻辑手册》（1977），北荷兰：北荷兰阿姆斯特丹），867-895 [10] Simpson，S.G.，有限树某些组合性质的不可证明性，（Harrignton，L.A.，H.Friedman关于数学基础的研究（1985年），北荷兰：北荷兰阿姆斯特丹），87-117 [11] Smorynski，G.，《不完全性定理》，（Barwise，J.，《数学逻辑手册》（1977年），北荷兰：北荷兰阿姆斯特丹），821-865 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。