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约瑟夫·西尔弗曼（Joseph H.Silverman）。

K3曲面上的有理点：一个新的规范高度。 （英语） Zbl 0754.14023号

发明。数学。 105，第2期，347-373（1991）.
标记曲面（S）是具有自同构群的复射影（K3）曲面，其子群（{mathcal A}）与自由积（mathbb）同构{Z}（Z）_2*\mathbb{Z}（Z）_2阶的两个循环群，以及从\（{mathcal a}\）到\（mathbb）的固定同构{Z}（Z）_2*\mathbb{Z}（Z）_ 2\). 假设曲面（S）和自同构子群（{mathcal A}）的作用定义在一个数域（K）上。点\（P\在S（K）\）\（｛\mathcal C｝＝｛\mathcal C｝（P）＝\｛\varphi P；\ varphi\在｛\mathcal a｝\｝\）的轨道称为\（S）\上\（K\）-有理点的链。本文的目的是描述链中的点和（S（K））中链的集合。为此，引入了Weil高度函数（hat h\）和规范高度（hat h\）。后者不依赖于给定链中点的特殊选择（{\mathcal C}）。因此，H（{mathcal C}）定义良好。证明了以下基本结果：
定理1.2。链为有限iff（H（{mathcal C}）=0iff（H（P）=0\）。对于任何常数\（B\），在\（S（K）\）中的集合{chains\（{mathcal C}\）\（H（{mathcal C}）<B}）是有限的。（S（K）中只有有限多个链（{mathcal C}）具有有限个成员。
接下来的定理给出了（S（K）中无限链（{mathcal C}）的有用估计：\[2\sqrt{\hat H（{\mathcal C}）}\leq\min_{P\in C}\hat H（P）\leq2\alpha\sqrt{\ hat H，\]其中\（\alpha=2+\sqrt 3\）。在{\mathcal A}中使用\（\mu（{\mathcal C}）=\#\{\sigma\；\sigma Q=Q\}\[\左|\#\{P\在{\mathcal C}中；\h（P）\leq B\}-{1\over\mu（{mathcal C}）}\log_\alpha{B^2\over4\hat h（{mathcal C}）}\right|\leq 4\]如果\（B^2\geq2\sqrt{\hat H（{\mathcal C}）}\）。对于（text{Pic}（S））的任何充分除数（D）都有一个近似值\[\#\{P\在{\mathcal C}中；\；h_D（P）\leq B\}={1\over\mu（{mathcal C}）}\log_\alpha{B^2\over4\hat h（{mathcal C}）}+O（1），\；B\to\infty。\]
\[\#\｛P\在S（K）中；\；\hat h（P）\leq B\｝=S（K）_｛\text｛fin｝+\sum\left\｛｛1\over\mu（｛\mathcal C｝）｝\log_\alpha｛B^2 \ over4\hat h（｛\mathcal C｝）｝+\delta（｛\mathcal C｝）\right｝，\]其中，S（K）中的\（S（K）_{\text{fin}}=\{P\；\；\ h（P）=0\}=\}P\（S（0<4\hat h（{\mathcal C}）\leq B^2\）。如果点的链（{mathcal C}（P））是（text{Gal}（overline K/K））-稳定的，那么它认为（P\in S（K）），（{mathcal C}（P）是（K\）-有理的，（{mathcal C}（P））是有限的，并且（[K（P）:K]=2）。在证明之后，作者在第5节中给出了定义在（mathbb{Q}）上的随机选择的（K3）曲面上链中点的高度的显式计算。在最后一节中，计算与Vojta最近的一个猜想的K3版本有关，该猜想推广了Siegel关于椭圆曲线上积分点对数高度增长的著名定理。
审核人：R.-P.Holzapfel（柏林）

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引用于36文件

理学硕士：

14层28 \（K3）曲面和Enriques曲面
14G05年 有理点
14G40型 算法种类和方案；阿拉克洛夫理论；高度
14国道27号 代数几何中的其他非代数闭地场
14C22型 皮卡德集团

关键词：

有理点链;沃伊塔猜想;堰高函数;标记的\（K3\）表面;标准高度;椭圆曲线上积分点对数高度的增长
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\textit｛J.H.Silverman｝，发明。数学。105，No.2，347--373（1991；Zbl 0754.14023）
全文： 内政部 欧洲DML

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