高，韩;孙鲁宁;王建勋 PhyGeoNet：基于物理信息的几何自适应卷积神经网络，用于求解不规则域上的参数化稳态PDE。 （英语） Zbl 07511433号 J.计算。物理学。 428，文章ID 110079，27 p.（2021）。 摘要：最近，深度学习的出现激发了人们对开发物理信息神经网络（PINN）的兴趣，该网络用于有效求解偏微分方程（PDE），尤其是在参数设置中。在所有不同类别的深度神经网络中，卷积神经网络（CNN）越来越受到科学机器学习界的关注，因为CNN中的参数共享功能能够有效地学习大规模时空场的问题。然而，最大的挑战之一是，CNN只能处理具有类似图像格式的规则几何体（即具有均匀网格的矩形域）。在本文中，我们提出了一种新的物理约束CNN学习体系结构，旨在学习无任何标记数据的不规则域上的参数偏微分方程为了利用强大的经典CNN骨干，引入了椭圆坐标映射来实现不规则物理域和规则参考域之间的坐标变换。通过求解不规则区域上的多个稳态偏微分方程，包括热方程、Navier-Stokes方程和泊松方程，以及具有参数化边界条件、不同几何形状和空间变化源场，对所提方法进行了评估。此外，还将该方法与采用全连接神经网络（FC-NN）形式的最新PINN进行了比较。数值结果表明了该方法的有效性，并且在效率和精度方面明显优于基于FC-NN的PINN。 引用于49文件 MSC公司： 68倍 计算机科学 35-XX年 偏微分方程 关键词：基于物理的神经网络;无标签;代理建模;物理约束的深度学习;偏微分方程;方程 软件：DeepONet（深度网络）;MgNet公司;NSF网络;PDE-网络;深XDE;PyTorch公司;VarNet公司;300万;亚当;开放式泡沫;PhyCNN（美国有线电视新闻网）;hp-车辆识别号;DGM公司;物理地球网 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{H.Gao}等人，J.Compute。物理学。428，文章ID 110079，27 p.（2021；Zbl 07511433） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] 西里尼亚诺，J。；Spiliopoulos，K.，DGM：求解偏微分方程的深度学习算法，J.Comput。物理。，375, 1339-1364 (2018) ·Zbl 1416.65394号 [2] 莱斯，M。；佩迪卡里斯，P。；Karniadakis，G.，《基于物理的神经网络：用于解决涉及非线性偏微分方程的正向和反向问题的深度学习框架》，J.Compute。物理。，378, 686-707 (2019) ·Zbl 1415.68175号 [3] Zhu，Y。；北卡罗来纳州扎巴拉斯。；Koutsourelakis，P.-S。；Perdikaris，P.，《无标记数据的高维代理建模和不确定性量化的物理约束深度学习》，J.Compute。物理。，394, 56-81 (2019) ·兹比尔1452.68172 [4] Sun，L。；高，H。；潘，S。；Wang，J.-X.，基于物理约束的无模拟数据深度学习的流体流动替代建模，计算。方法应用。机械。工程，361，第112732条pp.（2020）·Zbl 1442.76096号 [5] Brunton，S.L。；Noack，B.R。；Koumoutsakos，P.，《流体力学的机器学习》，年。流体力学版次。，52, 477-508 (2020) ·Zbl 1439.76138号 [6] 张，R。；刘，Y。；Sun，H.，《非线性结构元建模的Physics-informed multi-LSTM网络》（2020），arXiv预印本·Zbl 1506.74004号 [7] 霍尼克，K。；Stinchcombe，M。；White，H.，多层前馈网络是通用逼近器，神经网络。，2, 5, 359-366 (1989) ·Zbl 1383.92015年 [8] Cybenko，G.，通过sigmoid函数的叠加进行逼近，数学。控制信号系统。，2, 4, 303-314 (1989) ·Zbl 0679.94019号 [9] 王建新。；Wu，J.-L。；Xiao，H.，基于DNS数据重建雷诺应力模型差异的基于物理的机器学习方法，Physis。修订版流体，2，3，第034603条，第（2017）页 [10] 王建新。；Wu，J.-L。；凌，J。；艾卡里诺，G。；Xiao，H.，《预测湍流建模的基于物理的机器学习：走向一个完整的框架》，（《夏季项目学报》（2016），CTR:CTR Stanford），1 [11] Roscher，R。；Bohn，B。；杜阿尔特，M.F。；Garcke，J.，《科学见解和发现的可解释机器学习》，IEEE Access，842200-42216（2020） [12] 彭，G.C。；Alber，M。；Tepole，A.B。；坎农，W.R。；德·S。；杜拉·伯纳尔，S。；Garikipati，K。；卡尼亚达基斯，G。；莱顿，W.W。；Perdikaris，P.，《多尺度建模与机器学习：我们可以学习什么？》？，架构（architecture）。计算。方法工程，1-21（2020） [13] 张，R。；刘，Y。；Sun，H.，用于数据驱动地震响应建模的物理引导卷积神经网络（PhyCNN）（2019年），arXiv预印本 [14] Sun，L。；Wang，J.-X.，《利用稀疏和噪声数据重建流体流动的物理约束贝叶斯神经网络》，Theor。申请。机械。莱特。，10, 3, 161-169 (2020) [15] 日内瓦，N。；Zabaras，N.，用物理约束的深度自回归网络建模PDE系统的动力学，J.Compute。物理。，403，第109056条pp.（2020）·Zbl 1454.65130号 [16] Lee，H。；Kang，I.S.，求解微分方程的神经算法，计算机J。物理。，91, 1, 110-131 (1990) ·Zbl 0717.65062号 [17] 拉加里斯，I.E。；利卡斯，A。；Fotiadis，D.I.，求解常微分方程和偏微分方程的人工神经网络，IEEE Trans。神经网络。，9, 5, 987-1000 (1998) [18] 拉加里斯，I.E。；利卡斯，A.C。；Papageorgiou，D.G.，不规则边界边值问题的神经网络方法，IEEE Trans。神经网络。，11, 5, 1041-1049 (2000) [19] Michoski，C。；Milosavljević，M。；Oliver，T。；Hatch，D.R.，使用深度神经网络求解微分方程，神经计算（2020） [20] Wang，N。；张，D。；Chang，H。；Li，H.，通过理论指导的神经网络深度学习地下水流，J.Hydrol。，584，第124700条pp.（2020） [21] 莱斯，M。；王，Z。；Triantafylou，M.S。；Karniadakis，G.E.，《涡激振动的深度学习》，《流体力学杂志》。，861, 119-137 (2019) ·兹比尔1415.76177 [22] 莱斯，M。；Babaee，H。；Givi，P.，湍流标量混合的深度学习，物理学。Rev.流体，4，12，文章124501 pp.（2019） [23] 金，X。；蔡，S。；李，H。；Karniadakis，G.E.，NSFnets（Navier-Stokes Flow nets）：不可压缩Navier-Stokes方程的物理信息神经网络（2020），arXiv预印本 [24] 莱斯，M。；亚兹达尼，A。；Karniadakis，G.E.，《隐藏流体力学：从流动可视化中学习速度和压力场》，《科学》，367，6481，1026-1030（2020）·Zbl 1478.76057号 [25] 基萨斯，G。；Yang，Y。；Hwuang，E。；Witschey，W.R。；Detre，J.A。；Perdikaris，P.，《心血管血流建模中的机器学习：使用物理信息神经网络从无创4D流MRI数据预测动脉血压》，计算机。方法应用。机械。工程，358，第112623条pp.（2020）·Zbl 1441.76149号 [26] Sahli Costabal，F。；Yang，Y。；佩迪卡里斯，P。；Hurtado，D.E。；Kuhl，E.，心脏激活映射的物理信息神经网络，Front。物理。，8, 42 (2020) [27] 方，Z。；詹，J.，超材料设计的深度物理信息神经网络，IEEE Access，824506-24513（2019） [28] 刘，D。；Wang，Y.，多精度物理约束神经网络及其在材料建模中的应用，J.Mech。设计。，141, 12 (2019) [29] 陈，Y。；卢，L。；Karniadakis，G.E。；Negro，L.D.，用于纳米光学和超材料中逆问题的物理信息神经网络（2019），arXiv预印本 [30] 郑琦。；曾磊。；Karniadakis，G.E.，《基于物理的语义修复：地质统计建模应用》（2019年），arXiv预印本 [31] 陈，X。；Duan，J。；Karniadakis，G.E.，《稀疏测量随机对流扩散反应系统的学习和元学习》（2019年），arXiv预印本 [32] 斯奈基，R。；Wu，T.，《热带气旋边界层风模拟的知识强化深度学习》，J.Wind Eng.Ind.Aerodyn。，194，第103983条pp.（2019） [33] 毛，Z。；雅格塔普，A.D。；Karniadakis，G.E.，《高速流动的物理信息神经网络》，计算。方法应用。机械。工程，360，第112789条pp.（2020）·Zbl 1442.76092号 [34] X孟。；Karniadakis，G.E.，《从多保真数据中学习的复合神经网络：函数逼近和PDE逆问题的应用》，J.Compute。物理。，401，第109020条pp.（2020）·Zbl 1454.76006号 [35] 塔尔塔科夫斯基，A.M。；马里罗，哥伦比亚特区。；佩迪卡里斯，P。；塔塔科夫斯基，G.D。；Barajas Solano，D.，基于物理的深度神经网络的学习参数和本构关系（2018），arXiv预印本 [36] 伯格，J。；Nyström，K.，复杂数据集中PDE的数据驱动发现，J.Compute。物理。，384, 239-252 (2019) ·Zbl 1451.68239号 [37] 卢，L。；Jin，P。；Karniadakis，G.E.，DeepONet：基于算子的普遍逼近定理学习用于识别微分方程的非线性算子（2019），arXiv预印本 [38] Yang，L。；X孟。；Karniadakis，G.E.，B-PINNs:带噪声数据的正向和反向PDE问题的贝叶斯物理信息神经网络（2020），arXiv预印本 [39] Yang，Y。；Perdikaris，P.，《物理信息神经网络中的对抗不确定性量化》，J.Compute。物理。，394, 136-152 (2019) ·Zbl 1452.68171号 [40] 张，D。；卢，L。；郭，L。；Karniadakis，G.E.，《量化物理信息神经网络中用于解决正向和反向随机问题的总不确定性》，J.Compute。物理。，397，第108850条pp.（2019）·Zbl 1454.65008号 [41] 卢，L。；X孟。；毛，Z。；Karniadakis，G.E.，DeepXDE:解微分方程的深度学习库（2019），arXiv预印本 [42] 伯格，J。；Nyström，K.，复杂几何偏微分方程的统一深度人工神经网络方法，神经计算，317，28-41（2018） [43] Yang，L。；张，D。；Karniadakis，G.E.，《随机微分方程的物理信息生成对抗网络》，SIAM J.Sci。计算。，42、1、A292-A317（2020）·Zbl 1440.60065号 [44] Han，J。；Jentzen，A。；Weinan，E.，使用深度学习求解高维偏微分方程，Proc。国家。阿卡德。科学。，115, 34, 8505-8510 (2018) ·Zbl 1416.35137号 [45] 臧，Y。；鲍，G。；叶，X。；Zhou，H.，高维偏微分方程的弱对抗网络，J.Compute。物理。，第109409条pp.（2020）·Zbl 1436.65156号 [46] Samaniego，E。；Anitescu，C。；Goswami，S。；Nguyen-Thanh，V。；郭，H。；Hamdia，K。；庄，X。；Rabczuk，T.，通过机器学习解决计算力学中偏微分方程的能量方法：概念、实现和应用，计算。方法应用。机械。工程，362，第112790条pp.（2020）·Zbl 1439.74466号 [47] Khodayi-Mehr，R。；Zavlanos，M.M.，VarNet:偏微分方程解的变分神经网络（2019），arXiv预印本 [48] Kharazmi，E。；张，Z。；Karniadakis，G.，求解偏微分方程的变分物理学神经网络（2019），arXiv预印本 [49] 李凯。；Tang，K。；Wu，T。；Liao，Q.，D3M：偏微分方程的深域分解方法，IEEE Access（2019） [50] Kharazmi，E。；张，Z。；Karniadakis，G.E.，hp VPINNs：具有域分解的变分物理知情神经网络（2020），arXiv预印本 [51] 德维维迪，V。；Srinivasan，B.，Physics-informed extreme learning machine（PIELM）-一种快速求解偏微分方程的方法，神经计算（2019） [52] 张，R。；哈贾尔，J。；Sun，H.，序列聚类的机器学习方法及其在地面运动选择中的应用，J.Eng.Mech。，146，6，第04020040条pp.（2020） [53] 王，S。；Teng，Y。；Perdikaris，P.，《理解和缓解物理信息神经网络中的梯度病理学》（2020年），arXiv预印本 [54] Nabian，医学硕士。；Meidani，H.，高维随机微分方程的深度学习解决方案，Probab。工程机械。，57, 14-25 (2019) [55] 南卡鲁穆里。；Tripathy，R。；Bilinis，I。；Panchal，J.，使用深层神经网络的高维随机椭圆偏微分方程的无模拟解，J.Compute。物理。，404，第109120条pp.（2020）·Zbl 1453.65021号 [56] Rao，C。；Liu，Y.，异质材料均匀化的三维卷积神经网络（3D-CNN）（2020），arXiv预印本 [57] Kim，B。；阿泽夫多，V.C。；北卡罗来纳州瑟雷。；Kim，T。；毛重，M。；Solenthaler，B.，《深层流体：参数化流体模拟的生成网络》（Computer Graphics Forum，vol.38（2019），Wiley Online Library），59-70 [58] 夏尔马，R。；Farimani，A.B。；戈麦斯，J。；伊士曼，P。；潘德（Pande，V.），《通过物理信息丢失对热传输的弱监督深度学习》（2018），arXiv预印本 [59] 福井，K.-i。；田中，J。；Tomita，T。；Numao，M.，基于对流层上层风预测的带模型差异的物理引导神经网络，（2019年第18届IEEE机器学习和应用国际会议，2019年IEEE第18届机器学习与应用国际会议（ICMLA）（2019），IEEE），414-419 [60] A.Subramaniam、M.L.Wong、R.D.Borker、S.Nimmagadda、S.K.Lele，使用物理信息生成对抗网络进行湍流浓缩，arXiv（2020）arXiv-2003。 [61] Mohan，A.T。；吕贝尔斯，N。；利维斯库，D。；Chertkov，M.，《在3D湍流的神经网络粗粒度中嵌入硬物理约束》（2020），arXiv预印本 [62] Wu，J.-L。；Kashinath，K。；阿尔伯特。；Chirila，D。；Xiao，H.，在生成对抗性网络中实施统计约束以建模混沌动力学系统，计算机J。物理。，406，第109209条pp.（2020） [63] 姚，H。；任，Y。；Liu，Y.，FEA-Net：一种具有物理先验的深度卷积神经网络，用于高效的数据驱动PDE学习，（AIAA科学技术2019论坛（2019）），0680 [64] He，J。；Xu，J.，MgNet:多重网格和卷积神经网络的统一框架，科学。中国数学。，62, 7, 1331-1354 (2019) ·Zbl 1476.65026号 [65] Joshi，A。；沙阿，V。；Ghosal，S。；波库里，B。；Sarkar，S。；Ganapathysubramanian，B。；Hegde，C.，求解非线性偏微分方程的生成模型，（机器学习和物理科学第二次研讨会（NeurIPS 2019）。第二次机器学习和物理科学研讨会（NeurIPS 2019），加拿大温哥华（2019）） [66] 长，Z。；卢，Y。；马，X。；Dong，B.，PDE-net：从数据中学习PDE（2017），arXiv预印本 [67] 长，Z。；卢，Y。；Dong，B.，PDE-Net 2.0：使用数字符号混合深度网络从数据中学习PDE，J.Compute。物理。，399，第108925条pp.（2019）·Zbl 1454.65131号 [68] 辛格，G。；古普塔，S。；租赁，M。；Dawson，C.N.，TIME:动态物理过程的透明、可解释、模型自适应和可解释神经网络（2020），arXiv预印本 [69] Rackauckas，C。；马云（Ma，Y.）。；Martensen，J。；华纳公司。；Zubov，K。；苏佩卡，R。；斯金纳，D。；Ramadhan，A.，《科学机器学习的通用微分方程》（2020），arXiv预印本 [70] Kingma，D.P。；Ba Adam，J.，随机优化方法（2014），arXiv预印本 [71] Han，J。；陶，J。；Wang，C.，《FlowNet:流线和流面聚类和选择的深度学习框架》，IEEE Trans。视觉。计算。图表。(2018) [72] Han，J。；Wang，C.，TSR-TVD：时变数据分析和可视化的时间超分辨率，IEEE Trans。视觉。计算。图表。，26, 1, 205-215 (2019) [73] Han，J。；陶，J。；郑浩。；郭，H。；Chen，D.Z。；Wang，C.，通过使用深度学习从三维流线重建矢量数据来减少流场，IEEE计算。图表。申请。，39, 4, 54-67 (2019) [74] 巴特纳加，S。；阿夫沙尔，Y。；潘，S。；Duraisamy，K。；Kaushik，S.，使用卷积神经网络预测空气动力流场，计算。机械。，64, 2, 525-545 (2019) ·兹比尔1468.76051 [75] 郭，X。；李伟（Li，W.）。；Iorio，F.，用于稳定流近似的卷积神经网络，（第22届ACM SIGKDD国际知识发现和数据挖掘会议论文集（2016）），481-490 [76] 汤普森，J.F。；F.C.泰晤士河。；Mastin，C.W.，包含任意数量二维物体的场的贴体曲线坐标系的自动数值生成，J.Comput。物理。，15, 3, 299-319 (1974) ·Zbl 0283.76011号 [77] John D.Anderson，《计算流体动力学：应用基础》（1995），麦格劳-希尔科学出版社 [78] 郭，L。；Ye，S。；Han，J。；郑浩。；高，H。；Chen，D.Z。；王建新。；Wang，C.，SSR-VFD：矢量场数据分析和可视化的空间超分辨率，（2020年IEEE太平洋可视化研讨会论文集（PacificVis）（2020）），71-80 [79] Shi，W。；卡巴列罗，J。；Huszár，F。；托茨，J。；艾特肯，A.P。；Bishop，R。；Rueckert，D。；Wang，Z.，使用高效亚像素卷积神经网络的实时单图像和视频超分辨率，（IEEE计算机视觉和模式识别会议论文集（2016）），1874-1883 [80] 贾萨克，H。；杰姆科夫，A。；Tukovic，Z.，OpenFOAM:复杂物理模拟的C++库，（数值动力学耦合方法国际研讨会，第1000卷（2007），IUC:IUC Dubrovnik，克罗地亚），1-20 [81] 普莱彻，R.H。；Tannehill，J.C。；Anderson，D.，《计算流体力学与传热》（2012），CRC出版社 [82] Rhie，C。；Chow，W.L.，带后缘分离的翼型湍流数值研究，AIAA J.，21，11，1525-1532（1983）·兹伯利0528.76044 [83] Paszke，A。；毛重，S。；钦塔拉，S。；Chanan，G。；杨，E。；德维托，Z。；林，Z。；Desmaison，A。；安提瓜，L。；Lerer，A.，《pytorch中的自动区分》（2017） [84] Miriel，J。；塞雷斯，L。；Trombe，A.，《辐射天花板供暖-制冷系统：性能、热舒适性和能耗的实验和模拟研究》，应用。热量。工程，22,161861-1873（2002） [85] 乔杜里，I。；Prasher，R。；Lofgreen，K。；克莱斯勒，G。；Narasimhan，S。；Mahajan，R。；Koester博士。；R.艾利。；Venkatasubramanian，R.，《基于超晶格的薄膜热电材料在芯片上的冷却》，国家纳米技术。，4235年4月4日（2009年） [86] 莫，S。；北卡罗来纳州扎巴拉斯。；施，X。；Wu，J.，用于估计非高斯水力传导率的对抗性自动编码器与剩余密集卷积网络的集成，Water Resour。决议，56，2，条款e2019WR026082 pp.（2020） [87] 徐，J。；Duraisamy，K.，时空动力学参数预测的多级卷积自动编码器网络（2019），arXiv预印本 [88] Spanier，E.H.，代数拓扑（1989），Springer Science&Business Media [89] Rudin，W.，Real and Complex Analysis（2006），塔塔·麦格劳-希尔教育 [90] Bozzi，S。；莫比杜奇，美国。；加洛，D。；Ponzini，R。；Rizzo，G。；比格纳迪，C。；Passoni，G.，相位对比-MRI导出的入口边界条件在胸主动脉计算血液动力学模型中的不确定性传播，计算。方法生物技术。生物识别。工程师，20，10，1104-1112（2017） [91] 高，H。；朱，X。；Wang，J.-X.，三维血流动力学模拟中不确定性传播的双精度代理建模方法，计算。方法应用。机械。工程，366，第113047条pp.（2020）·Zbl 1442.76163号 [92] 弗莱特，C.M。；Geraci，G。；Schiavazzi，医学博士。；卡恩，A.M。；Marsden，A.L.，《心血管血液动力学的多水平和多维不确定性量化》（2019年），arXiv预印本 [93] Tipping，M.E。；Bishop，C.M.，概率主成分分析，J.R.Stat.Soc.，Ser。B、 统计方法。，61, 3, 611-622 (1999) ·Zbl 0924.62068号 [94] 朗德，B.E。；Spalding，D.B.，湍流的数值计算，（流动、传热、湍流和燃烧的数值预测（1983），Elsevier），96-116 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。