马祖，B。;泰特，J。 \（p\）-adic sigma函数。 （英语） Zbl 0735.14020号 杜克大学数学。J。 62，第3期，663-688（1991）. 作者构造了复椭圆曲线上Weierstrass-sigma函数的一个基本模拟。更准确地说，他们在定义在完全离散赋值环（R）的分数域（K）上的椭圆曲线（E）的形式群（E^f）上构造了一个单值函数，其剩余域具有特征（p>0）。与经典情况一样，这个sigma函数是由椭圆曲线（E）唯一定义的常数。本文的一个主要结果（定理3.1）表明，（p）-adic sigma函数具有并实际上具有与经典Weierstrass-sigma函数类似的几个性质中的任何一个。整个构造基于椭圆曲线（E）是普通约简的假设，即在（R）剩余域的代数闭包上，形式群（E^f）同构于形式乘法群（mathbb{G}f_m）。关于（p）-adic sigma函数的应用，作者在前面的两篇论文中已经给出了其中的一些应用，主要是针对Birch和Swinnerton-Dyer猜想的特征（p>0）椭圆曲线上点的正则高度理论和（p）-adic相似性[参见。B.迷宫和J.泰特在算术和几何，巴普。迪迪奇。I.R.Shafarevich，第一卷：算术，进展。数学。35, 195-237 (1983;Zbl 0574.14036号);B.迷宫,J.泰特和J.泰特鲍姆，发明。数学。84, 1-48 (1986;Zbl 0699.14028号)].在这方面，本文提供了（p）-adic sigma函数的详细构造，该函数的存在已经在更广泛的背景下被假设（实际上也被使用）。正如作者所指出的，根据许多不同的上下文和不同的目的，在文献中还有许多其他方法来构造进位sigma函数，或者更广泛地说，构造进位theta函数。这里给出的一个特别是由与规范高度理论的联系引起的。审核人：W.Kleinert（柏林） 引用于2评论引用于24文件 MSC公司： 14G20（二十国集团） 代数几何中的局部地面场 14G40型 算法种类和方案；阿拉克洛夫理论；高度 14H52型 椭圆曲线 14国集团10 Zeta函数和代数几何中的相关问题（例如Birch-Swinnerton-Dyer猜想） 14K25号 Theta函数与阿贝尔变种 关键词：Weierstrass-sigma函数的p-adic类似;复椭圆曲线;形式群;标准高度;特征p;p-adicθ函数 引文：兹比尔0574.14036;Zbl 0699.14028号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{B.Mazur}和\textit{J.Tate}，杜克数学。J.62，第3号，663--688（1991；Zbl 0735.14020） 全文： 内政部 参考文献： [1] I.Barsotti，Considerazioni sulle funzioni theta，《数学专题讨论会》，第三卷（INDAM，罗马，1968/69），学术出版社，伦敦，1970年，第247-277页·Zbl 0194.52201号 [2] D.Bernardi，Hauteur（p）-adique sur les courbes elliptiques，数论研讨会，巴黎，1979-80，Progr。数学。，第12卷，Birkhäuser Boston，马萨诸塞州，1981年，第1-14页·Zbl 0475.14034号 [3] D.Bernardi、C.Goldstein和N.Stephens，Notes（p）-adiques sur les courbes elliptiques，J.Reine Angew。数学。351 (1984), 129-170. ·Zbl 0529.14018号 [4] N.Bourbaki，《数学教育》。分册二十七。阿尔盖布雷可交换。第1章：模块平台。第二章：本地化，科学与工业现状，第1290号，赫尔曼，巴黎，1961年·Zbl 0108.04002号 [5] L.Breen，《立方体函数》，《数学讲义》，第980卷，施普林格-弗拉格出版社，柏林，1983年·Zbl 0558.14029号 [6] V.Cristante，Theta函数和Barsotti-Tate组，Ann.Scuola Norm。主管比萨Cl.Sci。（4） 7（1980），第2期，181-215·兹伯利0438.14027 [7] N.M.Katz，模方案和模形式的基本性质，一元模函数，III（安特卫普大学国际暑期学校学报，1972年），柏林斯普林格出版社，1973年，69-190年。数学课堂笔记，第350卷·Zbl 0271.10033号 ·doi:10.1007/978-3-540-37802-03 [8] S.Lang，《椭圆函数》，第二版，《数学研究生教材》，第112卷，Springer-Verlag，纽约，1987年·Zbl 0615.14018号 [9] B.Mazur和J.Tate，通过双拉伸的标准高度配对，算术和几何，第一卷，进展。数学。，第35卷，Birkhäuser Boston，马萨诸塞州波士顿，1983年，第195-237页·Zbl 0574.14036号 [10] B.Mazur、J.Tate和J.Teitelbaum，《伯奇和斯温纳顿·戴尔猜想的基本类比》，《发明》。数学。84（1986），编号1，1-48·Zbl 0699.14028号 ·doi:10.1007/BF01388731 [11] J.McCabe，《（P）-进位θ函数》，哈佛大学博士论文，1968年。 [12] W.Messing，《与Barsotti-Tate群相关的晶体：阿贝尔方案的应用》，《数学讲义》，第264卷，施普林格-弗拉格出版社，柏林，1972年·Zbl 0243.14013号 ·doi:10.1007/BFb0058301 [13] 1 H.Morikawa，Theta函数和一级估价域上的阿贝尔变量。我，名古屋数学。J.20（1962），1-27·Zbl 0115.39001号 [14] 2 H.Morikawa，关于θ函数和秩1赋值域上的阿贝尔变量。二、。特征\（p（>；0）\）的θ函数和阿贝尔函数，名古屋数学。J.21（1962），231-250·Zbl 0115.39002号 [15] A.Néron，Hauteurs et functions théta，Rend。半实物财务。米兰46（1976），111-135（1978）·Zbl 0471.14024号 ·doi:10.1007/BF02925690 [16] A.Néron，《神殿》，交响乐。数学。，第二十四卷（交响曲，INDAM，罗马，1979），学术出版社，伦敦，1981年，第315-345页·Zbl 0463.14016号 [17] A.Néron，《函数the-ta（p）-adiques et hauteurs（p）-adiques》，数论研讨会，巴黎，1980-81（巴黎，1980/1981），Progr。数学。，第22卷，Birkhäuser Boston，马萨诸塞州波士顿，1982年，第149-174页·Zbl 0492.14035号 [18] P.Norman，\（P\）-adicθ函数，Amer。数学杂志。107（1985），第3期，617-661。JSTOR公司：·Zbl 0587.14028号 ·doi:10.2307/2374372 [19] B.Perrin-Riou，Descente infinie et hauteur \（p\）-adique sur les courbes elliptiques a乘法复合物，发明。数学。70（1982/83），编号3，369-398·Zbl 0547.14025号 ·doi:10.1007/BF01391797 [20] B.Perrin-Riou，Sur les hauteurs（p）-adiques，C.R.学院。科学。巴黎。I数学。296（1983），第6期，291-294·Zbl 0532.14012号 [21] J.Tate，《椭圆曲线的算法》，发明。数学。23（1974），179-206年·Zbl 0296.14018号 ·doi:10.1007/BF01389745 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。