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希普，F。;韦德，W.R。;西蒙，P。
[Pál，J。]

沃尔什系列。二进谐波分析导论。在J.Pál的协助下。 （英语） Zbl 0727.42017号

布里斯托尔等：亚当·希尔格。x、 560页，60.00英镑（1990年）。
这是一篇关于紧致阿贝尔群（Z_2^｛\infty｝）的调和分析的非常详细和全面的论文。该理论也可以解释为对区间[0,1]上Walsh函数展开式的研究。这本书的独特魅力在于，几乎在傅里叶分析和局部紧阿贝尔群中研究过的所有问题都被置于（Z_2^{infty}）的框架中，然后得到了仔细的解决。结合附录，这本书可以作为分析技术的教科书。事实上，每一章都有很多练习，从相对容易的练习到研究论文的结果。
沃尔什级数的定义如下：设r（x）是\（{mathbb{r}}\）上的周期函数，周期1由\（r（x以二进制形式表示（n=sum_{j\geq0}n_j2^j\；（n_j=0\）或1）并定义Walsh函数那么\（{w_n:n\in{mathbb{n}}\）是\（L^2（0,1）的正交基如果\（f\在L^1（0,1）中，\）\（n\在{\mathbb{n}}，\）那么\（hatf（n）：=int^{1}_{0}平面_而f（n）w_n是f的Walsh（-Fourier）级数。部分求和算子是（S_mf（x）：=\sum^{米}_{n=0}f（n）w_n（x）与普通傅里叶级数的显著区别在于，（S_{2^n}）对每个n都是一个正算子。
沃尔什函数系与紧群（Z_2^{infty}）（完全直积）之间有一种对应关系，称为并元群。其思想是将元素\（x=（x_0，x_1，x_2，…）（每个\（x_i=0\）或1）映射到\（[0,1]\）中的实数\（sum^{infty}{j=0}x_j2^{-j-1}\）（该映射在可数集上不是一一对应的）。在这个映射下，沃尔什函数对应于字符\（Z_2^{infty}\）（其对偶群同构于\（Z_2 ^{inffy}:\）\（x_n=1\），仅用于有限多\（n\}\））。这使得通常的卷积结构和紧致阿贝尔群中的其他对象专门化为沃尔什级数。
以下是各章及其主题的概述：
第一章：引言：沃尔什函数及其相关函数族（Kaczmarz，Paley，Rademacher），并元群，一些Banach函数空间。塞萨罗可和性，并矢连续模。
第二章：Walsh-Fourier系统：可积性和连续性条件对Walsh系数行为的影响，绝对收敛的条件。
第三章：并元鞅和Hardy空间：这个装置依赖于由并元区间生成的（sigma）-代数的序列（如（n=1,2,3，…）为Walsh级数发展了（H^1）、弱型（1,1）算子、BMO和原子的概念：（L^p（0,1）中的函数具有有界部分和。
第四章：范数收敛：当（1<p<infty）依赖于并元连续模时，（L^1）的Walsh级数的部分和几乎处处收敛于范数；构造了部分和发散的L^1中的（f）的一个例子。
第五章：逼近与基：沃尔什“多项式”逼近（即终止沃尔什级数）；二元分化；建造一个没有基础的巴纳赫空间。
第6章：几乎处处收敛和可和性：用极大算子进行收敛测试。
第七章唯一性：零级数，拟测度（某些有限可加集函数），薄集。
第八章：沃尔什级数的表示：系数（a_n）的各种可能性质，如单调减少，对级数（sum^{infty}{n\geq0}a_nw_n；）逐项并元微分的影响。
第9章：沃尔什-傅立叶变换：二维场的谐波分析，Plancherel，Mellin，Colley-Tukey（“快速”）型的积分变换。
这本书作为分析文本的实用性进一步得到了一组附录的增强，这些附录对Banach空间、Riesz-Thorin插值、紧致Abelian群、乘积空间和Tikhonov定理、矩问题、p-adic群上的Vilenkin函数系进行了完备的处理。
有20页详细的历史笔记和作者索引，指导读者阅读大量的参考书目。主题和注释索引进一步使这成为一个有价值的参考。作者似乎受到了齐格蒙德论文《三角级数》的组织结构的影响，对这一主题进行了非常全面的处理。人们想不出任何关于沃尔什系列的问题没有在这里讨论（事实上，作者似乎没有给其他人留下任何事情可做；人们可能想要讨论一些重要的悬而未决的问题）。然而，通过阅读这本书，人们可以学到很多关于谐波分析的问题和技术。呈现结果时的润色和细心可能是其最强大的两个品质。
审核人：C.F.Dunkl（夏洛茨维尔）

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MSC公司：

42立方厘米 特殊正交函数中的傅里叶级数（勒让德多项式、沃尔什函数等）
43A75号 特定紧群的调和分析
42-02 关于欧氏空间调和分析的研究综述（专著、调查文章）
46B15号机组 可总结性和基础；Banach和Hilbert空间中框架的泛函分析

关键词：

并元微积分;并矢谐波分析;沃尔什函数;沃尔什系列;并元群;并矢连续模;Walsh-Fourier系统;并元鞅;近似值;底座;二元分化;可总结性;Walsh-Fourier变换
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\textit{F.Schipp}等人，沃尔什级数。并矢谐波分析简介。在J.Pál的协助下。布里斯托尔等：Adam Hilger（1990；Zbl 0727.42017）