米歇尔·塔拉格兰德 高斯过程的正则性。 （英语） Zbl 0712.60044号 数学学报。 159，编号1-2，99-149（1987）. 作者获得了高斯过程连续或有界的充要条件。（中心）高斯过程是一组实值随机变量，由某个指标集t索引，因此每个有限线性组合都是一个实值高斯随机变量。（T乘以T）上的协方差函数（Gamma（u，v）=E（X_uX_v）决定了E（和a_tX_T）^2），从而决定了过程的规律。Kolmogorov提出了获得高斯过程协方差连续性和/或有界性的充要条件的问题。在平稳高斯过程的情况下，即当（Gamma（u，v）=GammaR.M.达德利【功能分析杂志1，290-330（1967；Zbl 0188.205）】和X.费尼克[数学课堂笔记480，1-96（1975；Zbl 0331.60025号)].假设指标集T是关于伪距离（d=（E（X_u-X_v）^2）^{1/2}）的紧致伪度量空间，并用覆盖T的半径为（epsilon）的最小闭d-球数表示\)有一个具有连续采样路径的版本，当且仅当\（int^{infty}_{0}（\log N_{\epsilon}）^{1/2}d\epsilon<\infty\）。然而，长期以来人们都知道，如果高斯过程不是平稳的，那么这个条件是不必要的。X.费尼克[C.R.科学院，巴黎，SéR.A 278，363-365（1974；Zbl 0274.60029号)]表明如果（T，d）上存在概率测度m，则\[（1） t}中的\quad\sup_{t\int^{infty}_{0}（\log 1/m（B（t，\epsilon）））^{1/2}d\epsilon<\infty，\]其中B（t，（ε））表示以t为中心的半径为d的球，则由d确定的高斯过程几乎肯定具有有界的样本路径。这一结果隐含在普雷斯顿根据加西亚、罗德米奇和拉姆齐的重要结果所做的早期工作中。（本文包含了很好的历史讨论，并参考了这些和其他重要论文。）值得注意的是，作者能够证明（1）是必要的。更明确地说，他证明了对于每个有界高斯过程\（（X_t）_｛t\ in t｝\），在（t，d）上存在一个概率测度m，使得\[\sup_{t\in t}\nint^{infty}_{0}（\log 1/m（B（t，\epsilon）））^{1/2}d\epsilon\leq K E\sup_{t\int}X_t，\]对于某些普适常数K，密切相关的结果给出了连续的充要条件。作者使用的方法和许多有趣的应用程序都有一些重要的意外结果。例如，这里是他的定理15：设（（X_t）{t}是高斯过程，（Y_t）是由同一集合索引的任何其他中心过程。假设对于\（{mathbb{R}}\）中的每个\（\theta\），我们有\[E\exp\θ（Y_u-Y_v）\leq E\expθ（X_u-X_v）=\exp（θ^2d^2（u，v）/2）。\]然后我们有E\（t}中的sup{t\Y_t\leqKE\sup{t\t}X_t），其中K是一个普适常数。这是一篇深刻而重要的论文。对它的理解对于进一步认真研究高斯过程至关重要。 引用于13评论引用于103文件 数学溢出问题： 参考要求：塔拉格兰（Talagrand）在一篇论文中提出的涉及凸集和高斯变量的不等式 MSC公司： 60G17年 示例路径属性 60G15年 高斯过程 60年12月 一般二阶随机过程 关键词：高斯过程的连续性或有界性;平稳高斯过程;历史讨论 引文：Zbl 0188.205号;兹比尔0331.60025;Zbl 0274.60029号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{M.Talagrand}，《数学学报》。159、99——149（1987；Zbl 0712.60044） 全文： 内政部 参考文献： [1] Badrikian，A.和Chevet，S.，《圆柱计量》，《维纳广场和功能》（espaces de Wiener et functions aléatoires Gaussiennes）。数学课堂笔记。，379（1974），Springer-Verlag，纽约·Zbl 0288.60009号 [2] Borell，C.，高斯空间中的Brunn-Minkowski不等式。发明。数学。，30 (1975), 205–216. ·doi:10.1007/BF01425510 [3] Dudley，R.M.，希尔伯特空间紧子集的大小和高斯过程的连续性。J.功能。分析。，(1967), 290–330. ·Zbl 0188.20502号 [4] –，高斯过程的样本函数。Ann.Probab。，1 (1973), 66–103. ·Zbl 0261.60033号 ·doi:10.1214/aop/1176997026 [5] Feldman，J.，正则正规过程的有界性和连续性集。程序。1971年第六届伯克利研讨会，第357-367页。加州大学出版社。 [6] Fernique，X.，《高斯进程的连续性》。C.R.学院。科学。巴黎，258（1964），6058–6060·兹标0129.30101 [7] –，Gaussiens vecteurs Intégrabilityédes vecteurs。C.R.学院。科学。巴黎，270（1970），1698-1699·Zbl 0206.19002号 [8] –，高西人的财产证书。数学专题讨论会，第九卷，第37-42页。学术出版社，伦敦，1972年。 [9] –，Gaussiennes功能的少数民族。国际学术讨论会（Colloque International sur les processus Gaussiens et les distribution aleatoires）。《傅里叶学院年鉴》，24（1974），61-66。 [10] Fernique，X.，《Gaussiennes函数的规则》。数学讲义。，480 (1974), 1–96. 斯普林格·弗拉格。 [11] Fernique，X.，《高斯合成过程评估》。数学课堂笔记。，526 (1976), 67–83. 斯普林格·弗拉格。 [12] –，评估特定功能协会（Evaluation de certaines fonctionnelles associes a des functions ale atoires Gausiennes）。普罗巴伯。数学。统计师。2 (1981), 1–29. [13] –，Gaussiennes的汇聚面。Z.Wahrsch公司。版本。Gebiete，68（1985），331-336·Zbl 0537.60006号 ·doi:10.1007/BF00532644 [14] Garsia，A.M.，多维时间参数高斯过程的连续性。程序。1971年伯克利第六交响乐团，第369-374页。加州大学出版社。 [15] Garsia，A.M.，Rodemich，E.&Rumsey，Jr.，H.，实变量引理和一些高斯过程的路径连续性。印第安纳大学数学。J.，20（1970），565-578·Zbl 0252.60020号 ·doi:10.1112/iumj.1970年2月20日0046 [16] Heinkel，B.，《Théorème central-limite et loi du logistical itérédansC（S）》。C.R.学院。科学。巴黎，282（1976），711-713·Zbl 0331.60016号 [17] Heinkel，B.，《功能的测量》。CNRS第307号国际学术讨论会（“Aspects statistiques et Aspects physiques des processus Gaussiens”）。1980年，第407-434页。 [18] Jain，N.C.和Marcus，M.B.，C（S）值随机变量的中心极限定理。J.功能。分析。，19 (1975), 216–231. ·兹比尔0305.60004 ·doi:10.1016/0022-1236（75）90056-7 [19] Landau，H.&Shepp，L.A.，关于高斯过程的上确界。桑基昂，32（1970），369-378·Zbl 0218.60039号 [20] Marcus，M.B.和Shepp，L.A.，高斯过程的样本行为。程序。1971年伯克利第六交响乐团，第423-441页。加利福尼亚大学出版社·Zbl 0379.60040号 [21] Marcus，M.B.和Pisier，G.，《随机傅里叶级数及其在谐波分析中的应用》。安。数学。研究101，1981年。普林斯顿大学出版社·兹比尔0474.43004 [22] –，几乎确定连续稳定随机傅里叶级数和强平稳过程的特征。《学报》。数学。，152 (1984), 245–301. ·Zbl 0547.60047号 ·doi:10.1007/BF02392199 [23] Preston，C.，Banach空间产生于一些积分不等式。印第安纳大学数学。J.，20（1971），997-1015·Zbl 0228.46024号 ·doi:10.1512/iumj.1971.20.20095 [24] Slepian，D.，高斯噪声的单边势垒问题。贝尔系统技术杂志，41（1962），463–501。 [25] Sudakov，V.N.，高斯测度，Cauchy测度和{（ε）}-熵。苏联数学。道克。，10 (1969), 310. ·Zbl 0224.60018号 [26] –，高斯随机过程和希尔伯特空间中立体角的度量。苏联数学。道克。，12 (1971), 412–415. ·兹比尔0231.60025 [27] –，关于高斯样本函数连续性准则的注记。数学课堂笔记。，330 (1973), 444–454. ·doi:10.1007/BFb0061508 [28] Talagrand，M.，《高斯过程规则》。C.R.学院。科学。巴黎，301（1985），379-381·Zbl 0579.60032号 [29] –，Gaussiens出生过程描述。C.R.学院。科学。巴黎，301（1985），751–753·Zbl 0579.60033号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。