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狮子，P.-L。

变分法中的集中紧凑原则。局部紧凑型外壳。二、。 （英语） Zbl 0704.49004号

Ann.Inst.Henri Poincaré，美国安大略省。非利奈尔 1, 223-283 (1984).
[我见提交人，同上，109-145（1984年；Zbl 0541.49009号)以下审查也涵盖了这一点。]
设H是\（{\mathbb{R}}^N\）上的函数空间，设J，\[{\mathcal E}（u）=\int E（x，Au（x））dx，\quad J（u）=\int J（x，Bu（x，\]其中e:\（{\mathbb{R}}^N\次{\mathbb{R{}^m\到{\mat血红蛋白{R}{），j:\（}\mathbb{R}}^N\times{\mathbb{R}}^N\到[0，\infty[\），以及A:\（H\到e\），B:\（H到F\）（e，F是定义在\ hbb{R}}^m\），\（{\mathbb{R}}^N\）分别用\（{\tathbb{R}}^N\）的翻译进行通勤；我们考虑了最小化问题inf（{）（{mathcal E}（u）：）（u在H中），（J（u）=1）。由于域的有界性丢失，经典的凸紧性方法无法处理该问题，因此作者提出了一种新的解决方法。他以启发式形式导出了一个一般原理，并在本文研究的所有问题上得到了严格的证明。他首先将问题嵌入到一个单参数问题族中\[I_{\lambda}=\inf\{\mathcal E}（u）：\；u\在H中，\quad J（u）=\lambda\}，\quad\lambda>0；\]他假设（j（x，q）到j^{infty}（q）），（e（x，p）到e^{inffy}，（p））为所有的（p\in{mathbb{R}}^m），（q\in{mathbb{R}}^n）；他认为\[I^{\infty}_{\lambda}=\inf\{\mathcal E}^{\infty}（u）：\；u在H中，四J^{infty}（u）=\lambda\}，\text{其中}{mathcal E}^{inffy}；\]他假设H中的（u）、（J（u）=lambda\}、neq\emptyset）、（lambda\ in]0,1]\）的（I{\lambda}>-\infty），以及（I{\ lambda{\）、（I^{\infty}{\lampda}\）的最小化序列在H中有界。
集中紧性原理如下：当e和j依赖于第一个变量时，对于每一个（lambda>0），I的所有最小化序列都是相对紧的当且仅当严格次可加性条件（I{lambda}<I{alpha}+I^{infty}{lambda-\alpha}）对所有（alpha\In[0，\lambda[\）成立；在e和j不依赖于第一个变量的情况下，对于每个\（lambda>0），I的所有最小化序列都相对紧致到平移当且仅当严格次可加性条件\（I{lambda}<I{alpha}+I^{infty}{lambda-\alpha}\）对所有\（alpha\in]0，\lambda[\）成立（他指出，弱次可加性条件总是满足的）。该证明基于一个紧性引理，该引理是借助于测度的集中函数的概念获得的。
作者在几个例子中给出了上述原理的严格证明：旋转星问题：\[\inf\{\int[j（\rho（x））+k（x）\rho\]其中K，f给定，j是凸函数，\（lambda>0）；Choquard-Pekar问题：\[\inf\{\int[（1/2）|\nabla u（x）|^2+（1/2）V（x）u（x，\]
\[主题\ quad到\ quad u\在H^1中（｛\mathbb｛R｝｝^N）\text｛and｝\ int u（x）^2dx=1；\]非线性薛定谔方程中的驻波：\[\inf\{\int[|\nabla u（x）|^2-F（x，u（x\]（例如，\（F（x，t）=|t|^p）\）和inf \（\{\int[|nabla u（x）|^2+V（x）u；非线性场方程：\[\inf\{\int|\nabla u（x）|^2dx:\；F（x，u（x））dx=\lambda\}；\]无约束问题（例如，Hartree-Fock问题）；流形上的欧拉方程与极小化；具有多重约束的问题；非（{mathbb{R}}^N\）无界域中的问题（条、半空间、外部域等）；仅在某些特定方向（如涡环、旋转恒星）平移不变的问题。

引用于13评论
引用于1108文件

MSC公司：

49J27型 抽象空间中问题的存在性理论
49J10型 两个或多个自变量自由问题的存在性理论
46E35型 Sobolev空间和其他“光滑”函数空间、嵌入定理、迹定理

关键词：

集中紧凑原则；旋转星问题；Choquard-Pekar问题；薛定谔方程；非线性场方程；Hartree-Fock问题；流形上的最小化

引文：

Zbl 0541.49009号
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\textit{P.L.Lions}，Ann.Inst.Henri Poincaré，Ana。非莱内尔1，223--283（1984；Zbl 0704.49004）
全文： 内政部 Numdam编号 欧洲DML

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