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恩里科·阿巴雷洛;莫里齐奥·科纳尔巴

曲线模空间的Picard群。 （英语） Zbl 0625.14014号

拓扑结构 26, 153-171 (1987)。
设（M_{g，h}）（（{mathcal M}_{g、h}众所周知，当（ggeq3）[J.哈勒，发明。数学。72, 221-239 (1983;Zbl 0533.57003号)和“曲线模空间的上同调”，C.I.M.E.注释（Montecatini（1985））D.芒福德[《恩塞恩数学》，第二卷第23、39-110页（1977年；Zbl 0363.14003号)]Picard群的（{mathcal M}{g，h}），Pic（{mathcal M}{g，h}）没有扭转，并且包含（Pic（M_{g，h-}）作为有限指数的子群（后者的证明见附录）。
给出了Pic（（{\mathcal M}{g，h}）和Pic（\bar{\mathcal M}_{g，h}）的显式基，它们也是自由的：定理\（h=0）：\）对于任何\（g\geq3\），Pic（\（\bar}\mathcalM}{g,0}）是由\（\lambda，\delta_0，\delta _1，…，\ delta_{[g/2]}\）自由生成的；而Pic（\（{\mathcal M}_{g，0}）由\（\lambda\）自由生成。这里\（\lambda，\delta_0，\delta_1，…，\delta_{[g/2]}\）分别表示Hodge类和边界类。-定理\（（h>0）.\）对于每一个\（g\geq3），Pic（\bar{mathcal M}{g，h}）由\（lambda，\psi_1，…，\psi.h\）和\（delta_0，\delta_{alpha；i_1、…，i_a}\）（0\（leq\alpha\leq[g/2]\），\（0\leq-a\leq-h\）与\（alpha\geq2\）if\（a=0\），……）；而Pic（（{mathcal M}{g，h}）由\（lambda，\psi_1，…，\psi.h）自由生成。这里，（delta）是为亏格h点稳定曲线族（F=（pi:X到s，…，sigma_1，…，sigma_h）定义的Pic（）中的类。（i=1，…，h），其中，\（\omega{\pi}\）是相对的对偶层。
（h=0）定理的证明如下：我们知道，（lambda）和（delta）的s是线性无关的，Pic（（bar{mathcalM}_{g，0}）中的任何类（xi）都是系数为（{mathbb{Q}}）的（lambda\）和（delta）s的线性组合，即，（xi=a\lambda+sumb_i\delta_i.）如果可以证明{mathbb{Z}}中的（a，b_i），则证明是完备的，这是通过构造两组不同的（k+2）稳定曲线族（G_1，…，G{k+2}）（（k=[G/2]）），并且矩阵的行列式（det（eta））的相应值\[\eta=\eta（G_1，…，G_{k+2}）=\begin{pmatrix}\deg_{G_1}\lambda&deg_}\delta_1&…&\deg_{G_1}\delta_k\\vdots&&\vdots\\\deg__{G_{k+2}}\lambda&…&\deg_{G_{k+2}}\delta_k\end{pmatrix}\]是相对最好的。
关于\（h>0\）定理的证明如下：首先，在Harrer定理的基础上证明了类\（\lambda，\psi_1，…，\psi_h\），\（\delta_0，\delta_{\alpha；i_1，…，i_a}\）形成Pic（\（\bar｛\mathcal M｝_{g，h｝）\otimes｛\mathbb｛Q｝｝\）的基，并且类\（\lambda，\psi_1，…，\psi_h\）形成\（Pic（｛\mathcal M｝_｛g，h｝）\otimes｛\mathbb｛Q｝｝）的基础。然后通过以下命题和h上的归纳法完成了证明：设L是（\bar{mathcalM}{g，h+1}）上的线丛。如果L在光滑曲线上是平凡的，则在（bar{mathcalM}_{g，h}）上存在一个线丛（{mathcal L}），使得（cl（L）等价变θ（cl）模边界类。相反，如果在（bar{mathcalM}{g，h}）上存在（{mathcal L}），使得cl（L）-\（vartheta（cl（{matHCalL}。
作为第二定理的应用，证明了Franchetta的一个猜想：设（（M_{g，h}）^0是由所有亏格g组成的没有非平凡自同构的h点曲线。设（{mathcal C}to（M_{g，0}）^0）是亏格g曲线的泛族，S是（（M_}g，0{）^0\）和（pi:X to S）泛族对S的限制的Zarisk开子集。最后，证明了关于（Pic（\barM_{g，h}）的一个结果：如果（g\geq3），（a_{3g+h-4}（\bar M_{g，h{））是由（\psi1，…，\psih，2\lambda，\lambda+\delta_1）生成的（Pic。
审核人：N.Yui公司

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MSC公司：

14甲10 族，曲线模（代数）
14C22型 皮卡德集团

关键词：

亏格曲线的模空间;皮卡德集团

引文：

Zbl 0533.57003号;Zbl 0363.14003号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{E.Arbarello}和\textit{M.Cornalba}，拓扑26，153--171（1987；Zbl 0625.14014）
全文： 内政部