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路易·德布兰兹

Bieberbach猜想的证明。 （英语） Zbl 0573.30014号

数学学报。 154, 137-152 (1985).
让S表示通常的归一化单叶函数类\[f（z）=z+a_2z^2++a_nz^n+。。。\]从单元磁盘\（{\mathbb{D}}\）到\（{\ mathbb}C}\）。当比伯巴赫【Sitzungsber.Preuß.Akad.Wiss.1916，940-955（1916；JFM 46.0552.01号)]证明了（a2）和等式只适用于Koebe函数\[k（z）=z/（1-z）^2=z+2z ^2++nz^n+。。。\]和它的旋转（e^{-i\alpha}k（e^}i\alpha{z）），（alpha\in{mathbb{R}}），他推测所有n都是（|a_n|leqn）。1936年M.S.罗伯逊[美国数学学会公牛42366–370（1936；Zbl 0014.40702号)]推测奇函数\[g（z）=z+b_3z^3++b条_｛2n-1｝z^{2n-1}+。。。\]S满足不等式\[1+|b_3|^2+…+|b_{2n-1}|^2\leqn，四元n=1,2，。。。。\]这个猜想暗示了Bieberbach不等式和Rogosinski猜想，即函数（h（z）=z+c_2z^2++c_nz^n+…\）它在（{mathbb{D}}）中是全纯的，从属于S的函数，满足不等式（|c_n|leqn），（n=1,2，…）。扩张\[\log（f（z）/z）=\gamma_1z+\gamma_2z^2++\gamma_nz^n+。。。\]定义S中函数的对数系数。I.M.米林[“单叶函数和正交系”（1971；Zbl 0228.30011号)]我猜想\[（*）\四\和^{无}_{k=1}（1-k/（n+1））（k|\gamma_k|^2-（1/k））\leq 0\]对于所有\（n=1,2，..\）。通过Lebedev-Milin的不等式，这意味着Robertson的猜想，因此Rogonski和Bieberbach的猜想。
现在，在1984年初春，L.de Branges公司[预印本E-5-84，V.A.Steklov数学研究所列宁格勒分所（1984）]证明了Milin的猜想是正确的，等号（*）只出现在Koebe函数中。通过这一点，上述四个问题立即得到解决。本文的证明基于Loewner链理论、de-Branges的权函数微分方程组（sigma_n（t））和平方和幂级数的相关理论，以及R.阿斯基和G.煤气柜【美国数学杂志，98，709–737（1976；兹比尔0355.33005)]雅可比多项式的正和。
审核人：A.弗鲁格

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MSC公司：

30 C50 一个复变量的单叶函数和多叶函数的系数问题
30 C55 一个复变量的单叶函数和多叶函数的一般理论

关键词：

比伯巴赫猜想;罗戈辛斯基猜想;Lebedev-Milin不等式

引文：

兹比尔0014.40702;Zbl 0228.30011号;Zbl 0355.33005号;格式46.0552.01
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\textit{L.de Branges}，《数学学报》。154、137--152（1985年；Zbl 0573.30014）
全文： 内政部

数学函数数字图书馆：

§16.23（iii）保角映射§16.23数学应用程序第16章广义超几何函数和Meijer𝐺-功能
复函数理论§18.38（ii）经典OP：其他应用§18.38数学应用和应用第18章正交多项式

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