德克尔，K。;J.G.韦尔。 刚性非线性微分方程Runge-Kutta方法的稳定性。 （英语） Zbl 0571.65057号 CWI专著, 2. 阿姆斯特丹-纽约-牛津：北荷兰。九、 307页36.50美元；英国国防部。95.00 (1984). 在分析常微分方程的数值格式时，人们传统上假设微分系统是Lipschitz连续的。然而，对于刚性问题，更适合假设系统满足某种单侧Lipschitz条件。基于这一假设，G.Dahlquist于1975年提出了线性多步方法的G-稳定性概念。同年，J.Butcher发布了Runge-Kutta方案的B-稳定性的相应定义。本书详细而透彻地报告了Runge-Kutta格式的非线性稳定性分析的发展，从Butcher的B-稳定性定义到Hairer和Türke的a-稳定性和B-稳定性等价。这本书写得很清楚。作者们几乎完全成功地将不同的研究论文融合成了一个统一的理论。然而，在某些情况下，人们希望剔除一些不重要的概念，例如AN-stability。因此，作者一直在这本书的标题范围内。因此，在线性绝对稳定性理论保持最小值的同时，忽略了阶条件的美丽根树理论。这使得本书专门针对龙格-库塔方案的一般课程。然而，它确实非常适合于关于这个有点有限的主题的特别课程或研讨会。这本书对这一领域的任何研究人员来说都是一本非常好的书，因为它几乎把1975年以来所做的所有相关工作都集中在一卷中。这个主题分为十章。在前两章中，介绍了刚度现象，并给出了几个有趣的例子。介绍了线性方程的绝对稳定性、收缩性和单侧Lipschitz条件的概念，并给出了一些结果和示例。此外，还处理了对数范数。第三章介绍了Runge-Kutta格式以及简化的阶条件。给出了基于高阶求积的方法及其一些线性稳定性性质。然后给出了关于对角方法和单隐式方法的阶数的结果。利用Hairer和Wanner的W变换得到的优美的阶条件来处理具有正权的Runge-Kutta格式。第四章给出了B-、BN-、A-、AN-稳定性和代数稳定性等不同稳定性概念之间的关系。为此，引入了一个方案的可约性。本章最后对代数稳定格式进行了更详细的研究。第5章讨论了非线性方程的求解，如果使用隐式格式，则必须在每个积分步骤求解该方程。研究了该解的存在唯一性。此外，利用Frank、Schneid和Ueberhuber的BSI稳定性，数值解的误差受内部扰动的限制。然后研究了许多已知的隐式格式的BSI稳定性。本章最后对隐式Runge-Kutta方法的B-稳定性和实现考虑进行了一些推广。在简短的第6章中，讨论了显式方案的压缩性。第七章介绍了B-一致性和B-收敛性，以获得刚性问题瞬态阶段数值解的实际误差界。然后给出了这些概念的充分条件。在下一章介绍D-稳定性的同时，第10章研究了Runge-Kutta-Rosenbrock方法及其稳定性性质。在最后一章中，我们考虑了偏微分方程的应用。特别地，讨论了拟线性抛物问题、线性平流方程、扩散对流问题和浅水方程。审核人：R.杰尔施 引用于7评论引用于437文件 MSC公司： 65升05 常微分方程初值问题的数值方法 65L20英寸 常微分方程数值方法的稳定性和收敛性 65-02 与数值分析相关的研究展览（专著、调查文章） 关键词：龙格-库塔方法;刚性非线性微分方程;G-稳定性;B-稳定性;非线性稳定性分析;A-稳定性;代数稳定性;BSI稳定性;B-一致性;B-收敛;误差界限;D-稳定性;Rosenbrock方法;平流方程;扩散对流问题;浅水方程 PDF格式BibTeX公司 XML格式 数学函数数字图书馆： 二阶方程§3.7（v）Runge–Kutta方法§3.7常微分方程区域第3章数值方法