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于尔根·Pöschel

康托集上哈密顿系统的可积性。 （英语） Zbl 0542.58015号

Commun公司。纯应用程序。数学。 35, 653-696 (1982).
这是一篇写得特别好、组织得很好的论文。在一份长达八页的“概述”中，详细解释了主要结果，并将其置于现有理论的背景下。在剩下的35页中，通过将结果和证明分解为多个部分，包括两个主要的子主题和一些引理，以一种非常清晰的方式展示了这个由来已久且相当复杂的证明。结论部分包含一些与主要结果相关的进一步结果。就内容而言，概述的开头部分非常充分地说明了这一点：“n自由度可积哈密顿系统的扰动通常不再可积——它们甚至可能在每个能量表面上都是遍历的。然而，如果可积系统是非退化的，摄动系统在不变圆环上仍然表现出很大程度的准周期运动，这是科尔莫戈洛夫、阿诺尔和莫瑟理论中众所周知的。但这些圆环体的家族是在康托集合上参数化的，因此没有密集的地方。尽管如此，我们的目的是表明，在这个康托集上，这些圆环构成了惠特尼意义上的可微族，这使我们能够谈论康托集的可积系统。此外，该叶理还表现出各向异性可微性现象，即它允许与这些圆环相切的导数多于与它们横向的导数。简单的推论是对合中存在n个独立函数，它们在康托集上形成运动积分，根据摄动估计不变环的补码的测度。这为扰动系统的“可积性”提供了另一个方面。
传统上，积分哈密顿系统的问题被表述为求哈密顿-雅可比方程的完全解的问题。我们将构造一个光滑的、各向异性的可微函数，该函数在康托集上求解摄动系统的这个方程。这可以被视为“可积性”的第三个方面。我们得到了一个实解析系统的可微摄动的结果，该系统是一类具有（r>3n-1）且在加权（C^r）范数中很小的类。此外，假设哈密顿量具有额外的光滑性，我们可以获得叶理和哈密顿-雅可比方程解的额外光滑性，而无需任何进一步的小假设，包括无限常微分甚至解析哈密顿的情况。”
值得注意的是，作者成功地将非常技术性的部分都写得非常清晰易读，同时也不否认要深入每一个细节所需的艰苦劳动。
审核人：H.S.P.Grässer先生

引用于6评论
引用于171文件

理学硕士：

37J35型 完全可积有限维哈密顿系统，积分方法，可积性检验
37K10型 完全可积无穷维哈密顿和拉格朗日系统、积分方法、可积性检验、可积层次（KdV、KP、Toda等）
2005年7月70日 哈密尔顿方程
58C35个 流形上的积分；流形上的测度

关键词：

可积哈密顿系统的扰动;n自由度;每个能量面上的遍历;非退化的;不变圆环上的拟周期运动;科尔莫戈洛夫、阿诺尔和莫瑟的理论;叶理;各向异性可微性;各向异性可微函数
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{J.Pöschel}，Commun。纯应用程序。数学。35、653--696（1982；Zbl 0542.58015）
全文： 内政部

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