线性运算符。第二部分：谱理论。希尔伯特空间中的自伴随算子。在William G.Bade和Robert G.Bartle的协助下。 （英语） Zbl 0128.34803号

第一卷《线性算子I.一般理论》（Linear Operators.I.General theory）于1958年出版，包括整部著作的第一章至第八章（参见。Zbl 0084.10402号). 本书第二卷提供了本世纪（直到1960年左右）希尔伯特空间线性算子理论的最完整描述，以及使用该理论进行分析的结果。
第九章简要而全面地介绍了Gel'fand的交换代数和交换代数的表示理论。作为应用，我们发现Stone-Tech紧化定理；在注释中，关于非对易（B^*-代数的一些事实。
在第十章中，通过Gel’f and表示理论得到了正规算子谱分辨率的存在性。有一些段落涉及特征值、极大极小定理和光谱分辨率的积分公式。一段专门讨论了正规算子作为复自变量在（L^2）-空间直和中的乘法算子的表示；这种表示被称为谱表示，用于构造正规算子的酉不变量。在注释和备注中，我们发现了谱定理、多重性理论、不变子空间、算子的酉扩张、冯·诺依曼谱集（然而，让我们提到，如果（σ（T）是（T）的谱集，交换子、平方根等，则（T）并不总是正常的。
第十一章是各种珍珠分析的丰富集合。它首先从紧群上Haar测度的构造（基于Kakutani的一个不动点定理）、Peter-Weyl定理、实线的Bohr紧化、几乎周期函数的Bohr特征以及局部紧（sigma）-紧Abelian群的Fourier分析开始。与维纳-陶伯里定理和A.Beurling的谱合成问题相关的问题在单独的一节中给出（P.Malliavin、J.-P.Kahane等的最新结果在注释中部分引用），以Beurling's谱集在实线上的分析表征结束。整节以及本章末尾的大部分注意事项包含了对Calderón-Zygmund和Marcinkiewicz定理及其对奇异卷积算子的结果的全面阐述，使用了L.Hörmander先生[数学学报104，93–140（1960；Zbl 0093.11402号)]. 最后，有三个部分（第六、第八和第九部分）专门研究了属于von Neumann-Saltan理想（C_p）（（0<p<infty））的紧算子的谱，其中中心位置被赋予Carleman不等式，该不等式从Hilbert-Schmidt类（C_2）推广到任何类（C_p1）。让我们在这里添加一篇关于T.拉莱斯科[C.R.巴黎科学院145，906–907（1907；JFM 38.0382.03号)]这些话题首次受到攻击。在本章结束的注释和评论中，对紧群的表示理论、Pontryagin的对偶定理以及群之间对偶的其他方面进行了有启发性的阐述。
第十二章给出了自共轭算子的谱分解，无界函数的von Neumann泛函演算，（L^2）空间直和的谱表示，对称算子扩张的详细研究，Friedrichs定理和半有界对称算子的扩张，Stone表示定理（用于酉算子组）、极分解，最后（作为应用）一些经典矩问题。在研究具有有限亏指数的对称算子的扩张和W.Bade和J。Schwartz通过某些（广义）Carleman积分算子研究了自共轭算子的谱表示。这种Bade-Schwartz表示有效性的不同充分条件在线性微分（普通或椭圆）算子的本征函数展开中是有效的，并且易于应用，避免了使用Gel'fand和Kostjučenko出于相同目的引入的核或Hilbert-Schmidt嵌入。
第十三章可视为本卷的主要原著。它的内容（350页）构成了迄今为止从泛函分析角度对形式自共轭算子谱理论的最佳阐述。本章共有10节。
第一个给出了区间（I）中常微分方程（τu=0）的基本定义、存在性和连续性定理，其中（τ=sum_{j=1}^na_j（t）（d/dt）^j）具有（C^infty（I）-系数。
在第二节中，定义了由（L^2（I）中的\（τ\）生成的最小和最大闭算子\（T_0（τ）\）和\（T_1（τ\[\text{graph\；of}T_1（\tau）\Big/\上划线{text{graph；of}T_0（\tau）}。\]齐次边界条件实际上是一个关系式（B（f）=0），其中（f在D（T_1（tau））中）。
第三节研究了由一组边界条件（B_i（f）=0）（i=1，2，ldots，k）决定的算子（T\subseteq T_1（tau））对应的格林函数。关于自伴算子、实算子或二阶算子的情况更详细。这里使用的新方法的简单性（在第5、6和7节的大部分内容中也是如此）在于使用抽象函数分析方法。例如，格林函数是通过应用于（L^2（I）上的连续线性泛函（f\to（lambda I-T）^{-1}f（T））的Fréchet-Riesz定理获得的（其中，（lambdanotin\sigma（T））和（I\中的T）是固定的）。
第4节和第5节给出了形式化自共轭微分算子[即（T_0（τ）\substeq T\substeq-T_1（τ。峰值定理是上述定理中矩阵值谱测度（ij}）的谱表示的Weyl-Kodaira形式和唯一性的Marchenko-Coddington定理。
在第6节（缺陷指数的定性理论）之前，引入了闭算子（T）的基本谱（σ_varepsilon（τ）），即那些点（s \lambda）的集合，其中（lambda i-T）的范围不是封闭的。有人特别研究了\（\σ_\varepsilon（\τ）=\σ_ \varepsilon（T_1（\ tau）），其中\（\ tau\）是形式上的自共轭，与\（T_0（\ tau）\的缺失指数\（n_{+}\）、\（n_{-}\）有关。作为应用，基本上通过幺正方法得到了关于（I）（二阶（τ））奇异端边值（不）存在性的九个定理。一般情况下使用了不同的方法（第十三章，6.35节，由于M.A.Naĭ标记）。该方法与一个新定理（第十三章，6.28）有关，该定理肯定会启发许多其他研究，因为它是以下类型的第一个一般结果（粗略地说）：如果\（\tau\）强于\（\tau'\），那么\（\tau\）和\（\tau+\tau'\）同样强。
在第7节（谱的定性理论）中，继续研究了（σ_varepsilon（τ））。有几个定理定位\（\sigma\varepsilon（\tau）\），即使\（\tau\）是任意阶的，或者将\（\sigma\varepsilon（\tau）\）与\（\sigma\varepsilon（\tau+\tau_1）\）进行比较。关于实二阶形式自共轭微分算子，在（σ_varepsilon（τ））的性质和（τu=lambdau）与实（λ）解的振动性之间建立了明确的联系。对于（T_0（τ）的自共轭扩张（T），给出了Hartman和Putnam的精确结果。最后，对于具有周期系数（具有相同周期）的任意阶形式自共轭微分算子，证明了（T=T_1（τ））是自共轭的，（σ（T）=σ_varepsilon（T。还研究了（sigma（T））的结构。
第8节（示例）介绍了与有理系数二阶微分方程相关的一些经典特殊函数。
第9节（适度标题为“练习”）和第9部分（注释和备注）包含了有关该主题的令人印象深刻的结果集合。
最后一章（线性偏微分方程和算子）包含了一些关于线性偏微分算子的最新结果，其证明或多或少涉及线性算子技术。在简要讨论了分布理论和Sobolev定理及其Kondrashov补（关于嵌入的紧性）的阐述之后，研究了椭圆算子（第6节）。我们在这里发现了Grding-Browder特征函数展开定理、Gding不等式、有界域预解式的紧性以及形式自共轭椭圆算子的谱理论；最后这些关于齐次边界问题的事实，似乎是Browder相应研究的特殊但重要的案例。下一节包含Friedrichs定理和对称双曲组Cauchy问题的存在唯一性，以及Lax的简化证明。最后一节利用算子半群的一般理论，利用第6节中关于椭圆算子的结果，给出了抛物方程混合问题的解。关于所研究的边界问题，作者只考虑齐次Dirichlet问题。这里遗漏了关于线性偏微分算子的一些基本结果的阐述（例如初等解、指数多项式解的逼近、亚椭圆性等）。除此之外，这一章非常有用，内容也选择得很好。
我们完成了这本书内容的非常不完整的复习。甚至非常能干的评论家很难指出这篇论文的所有优点和重要特点，但很明显，从现在起，它的研究将成为每个未来分析家的必要阶段。读者无论研究哪一部分，都会被它提供的大量信息所吸引，通过其阐述的清晰和简洁，以及整个呈现中现代与古典的和谐。
｛关于第三部分，请参见Zbl 0243.47001号.}

审核人：B.Sz.-Nagy和C.Foias

页码：24/35−5 −4 −3 −2 −1 ±0 +1 +2 +3 +4 +5 显示扫描页面