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德隆，B.N。;法德耶夫，D.K。

第三度非理性理论。 （俄语） Zbl 0061.09001号

Tr.Mat.Inst.Steklova 11，340页（1940年）。
这本杰出但古怪的专著应该交给所有对代数领域感兴趣的学位（3，4）。希望能再版并更广泛地提供。它的前提是对一般理论知之甚少。地面场总是有理场。
第一章对代数数进行了新的解释。度为\（n\）的域\（K\）中的数字\（\alpha\）由\（n\）维空间中的点\（（\alpha_1，\ldots，\alpha_n）\）表示；因此，（alpha+\beta\）、（alpha\beta）分别用\（（alpha_1+\beta，\ldots，\alpha_n+\betab_n）和\（alpha_1\beta_1，\ldot，\ alpha_n\beta_n）表示。（K）的整数构成了一个具有进一步“乘法”属性的格。代数域的性质反映在相应的“乘法格”中，给出了伽罗瓦理论的几何解释。
第二章讨论立方域。它处理了（i）Voronoi对整数基数的确定，（ii）理想的因式分解，（iii）给定的三次无理数是否是完美幂的问题（非常简洁），（iv）一个有效的算法，用于确定两个三次方程是否定义同一个三次场（“逆Tschirnhausen问题”），作为两个三次二进制形式是否等价的应用，（v）三次域中环之间的关系。
第三章的第一部分涉及三次和四次字段的制表和分类。评论家认为，这是不太成功的部分之一——详细的几何处理掩盖了对Minkowski凸体定理的吸引力的本质简单性。作者考虑的不是相关域中所有整数的（n-1）维格，而是所有（alpha-n）维格^｛-1｝S（\alpha）\）其中\（\alfa\）是一个整数，\（S（\alha）\）是它的spur（trace），\（n\）是度。没有讨论过这两种替代方法的相对优点：很有意思的是，作者有理由避免使用最明显的一种方法[（n）维方法是由J.迈耶，S.B.Akad。威斯。Wien，数学-自然。Kl.，Abt.IIa第138、733–742页（1929年；JFM 55.0104.05号文件)作者显然不知道他的工作]。此外，也没有提到类场理论，它允许快速构建判别式列表，特别是对于\（n=3\）。
第三章的后半部分讨论了从“支撑”二次域（K）构造三次域（K）（K是包含（K）的6次正规域的二次子域），以及类似地从“支持”三次域构造四次域。讨论是“几何”的，没有提到类场理论[参见。H.哈斯，数学。Z.31，565–582（1930年；JFM 56.0167.02号文件); 修正案31，799（1930）]。
第四章给出了Voronoi算法在立方环中求单位的几何解释。
第五章讨论了Thue-Siegel定理在立方场中的应用。它还改进了Siegel的一些结果和一个数的立方表示数：如果\（f（x，y）\）是一个不可约的具有整数系数的二元立方，并且\（k）是固定的，则\（|f（x、y）|\leqk \）的整数解的个数最多为15，但形式有限\（f。
第六章用相关三次域的单位用二元三次形式表示整数。结果表明，在某些情况下，如（ax^3+by^3=1），可以得到所有的解。此外，1由负判别式的积分二元三次场表示的次数最多为3；但有5种表示形式为判别式（-23），4种表示形式是判别式（-31）和（-44）。证明使用了Delone的“求幂算法”（Algorithmus der Erhöhung）（参见。T.纳格尔[数学Z.28，10-29（1928；JFM 54.0174.02标准)]，以及B.N.德隆，数学。Z.28，1-9（1928；JFM 54.0174.01标准); 31, 27–28 (1929;JFM 55.0098.04号)]). 本章（和本书）以Weil对属1曲线的Mordell有限基定理的简单证明和对特殊情况（x^3+y^3=Az^3）的详细讨论结束（参见。D.K.法德耶夫【Tr.Mat.Inst.Steklova 5，25-40（1934年；Zbl 0009.19601号)]，现在E.S.塞尔默[数学学报.85，203–362（1951；Zbl 0042.26905号)].
有一套非常有用的表格，其中一些是从其他作品中复制的，另一些是原创的。
1.由具有\（|b|<10\）、\（|c|<10\）的三次方程\（x^3+bx+c\）生成的所有字段以及单位和类号的表[L.W.里德，异议。哥廷根（1899；JFM 31.0215.02号)].
2.一些纯三次域的类号表[R.德德金J.Reine Angew著。数学。121, 40–123 (1900;JFM 30.0198.02型)]，现在由取代[J.W.S.卡塞尔斯《数学学报》。82, 243–273 (1950;Zbl 0037.02701号)第270页]。
3.带判别式的所有全实三次环的表\（D\leq 1296\）。
4.带判别式的所有非全真三次环的表\（-D<1000\）。省略了由\（alpha^3+8\alpha+4=0）（基\（\alpha^2），\（\alpha\），1单位\（2\alpha+1）类编号1）生成的判别式620的字段。这张桌子是由于G.B.马修斯和W.E.H.Berwick公司【Proc.Lond.Math.Soc.（2）10，46–53（1912；JFM 42.0243.03号)]，并由Delone检查。
5.带判别符的所有全实四次字段表\（\leq 8112\）。
6.具有两个实共轭和两个虚共轭以及判别式的所有四次域的表\（-D\leq 848\）。
7.具有二次子域和判别式的所有全复四次域的表（D\leq 1280）。对于表5、6、7，Galois组和给出了二次子域（如果有），并对5，6给出了整数的基。
8.带判别式的所有非总计实三次环的基本单位表（-D\leq 379）。
9.所有立方字段（3a）的单位表，其中（a\leq 70\）因Markoff（未完全被2中提到的表取代）
10.所有表示形式的表，其中（f（x，y）=1）是判别式的二进制立方[B.N.德隆，数学。Z.28，1-9（1928年；JFM 54.0174.01标准); 同上，31，1-26（1929年；JFM 55.0722.02号)].
11.具有（s=0，\pm 1）和判别式（D\），\（-172\leq D<0\）的所有二元立方形式\（x^3+sx^2+qx+n \）的表。
12.\（x^3+y^3=A z^3\）和\（0\leq A\leq 50\）的基本解（在Mordell的意义上）表（见上文关于第六章结尾的注释）。
审核人：J.W.S.Cassels（剑桥）
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引用于7评论
引用于27文件

MSC公司：

11-02 与数论有关的研究综述（专著、调查文章）
11兰特16 三次和四次扩展
11兰特27 单位和因子分解
11兰特29 类号、类群、判别式
11卢比 代数数论：整体域
11亿欧元 二级以上学位形式

关键词：

代数数论;代数数的新解释;代数数域中的格;立方场;四次域;Voronoi算法;立方字段中的单位;Thue-Siegel定理;整数的二元三次表示;亏格1曲线的Mordell有限基定理的Weil证明;桌子

引文：

JFM 55.0104.05号文件;JFM 56.0167.02号文件;JFM 54.0174.02标准;JFM 55.0098.04号;Zbl 0009.19601号;兹比尔0042.26905;JFM 30.0198.02型;Zbl 0037.02701号;JFM 42.0243.03号;JFM 31.0215.02号;JFM 54.0174.01标准;JFM 55.0722.02号
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