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卢博米尔·德切夫斯基。;布，西安F。;博尔·邦;Lakså，阿恩

张量积曲面上的变分法和多重网格动态规划。 （英语） Zbl 1170.49025号

《国际纯粹应用杂志》。数学。 51，第4期，475-503（2009）.
摘要：在[L.T.德切夫斯基和L.M.古利克森，《国际法学杂志纯粹应用》。数学。33，第2期，257–285页（2006年；Zbl 1126.90073号)，在下面（*）]中，考虑了在给定已知参数化的参数曲面上寻找测地线的问题。本工作的目的是研究在更一般的情况下，当曲面的参数化不可用，但有关该曲面的信息仅在离散的矩形点集上给出时，计算测地线和可能的一些其他类型的曲面上最优曲线的可能性。此信息可能仅包括点在曲面上的位置，也可能包括有关参数化曲面导数的信息。通过插值，从离散点集生成曲面的参数化，对给定数据进行插值。为此，我们使用ExpoRational B样条（ERBS）曲面。与传统的计算机辅助几何设计工具（如多项式B样条曲线和NURBS）相比，ERBS的一个显著优点是，ERBS张量积曲面即使是仅（G^0）-连续的，也具有（C ^ inffty）-光滑参数化。
我们确认了[（*）]第6节中的注释，即“（G^0）-连续曲面的（C^ infty）-光滑非正则参数化”性质可以用于将光滑泛函的精确或数值最小化方法有效而优雅地推广到非光滑泛函情况。
[（*）]和[L.T.德切夫斯基和L.M.古利克森，《国际法学杂志纯粹应用》。数学。33，第3期，381-406（2006年；兹比尔1156.90454)，在下面的（**）]中，完成了这里介绍的\（A^{**}\）-方法的实现，这是所谓的\（A ^*\）-搜索方法的升级（请参见http://en.wikipedia.org/wiki/A*). 全局搜索的（A^{**}）-方法与其在[（*）]和[（**）]中的类似方法之间的主要区别是，动态规划的横截面比[（*。因此，这里提出的动态规划方法可以用于验证[（*）]和[（**）]中提出的动态编程方法，反之亦然。
这里考虑了几种类型的成本泛函；然而，与[（*）]类似，只详细考虑了最短长度（测地线）的情况。与[（**）]类似，研究了几种类型的约束，包括等式或不等式类型、光滑或非光滑约束。
与三角曲面上的方法相比，本算法的优点之一是易于升级为三维体积变形和高维流形。使用指数B样条可以使用简单的统一经典变分方法来处理非常光滑和非光滑的几何数据，包括非光滑优化的次梯度方法不起作用的情况（例如，对于Lip-（alpha）成本泛函和/或带有（0<alpha<1）的约束）。
三角流形的指数B样条定义的扩展允许此处考虑的张量积曲面的方法扩展到一般三角流形。它还允许升级中提出的测地线Bézier曲线方法[D.Martinez、P.Carvalho和L.Velho（维略）《测地Bézier曲线：三角测量建模工具》，技术报告TR-07-042007年4月，巴西里约热内卢马提内斯等人（loc.cit.）中的Relatório Técnico，Laboraóri o VISGRAF，Instituto de Matemática Pura e Aplicada，rio de Janeiro），以应对处理非光滑和非常光滑流形的挑战)以统一的方式同时克服。即使在参数模型被认为不如隐式和其他非参数几何表示有效的情况下，expo-rational B样条参数化的一致性和鲁棒性也具有相当大的潜力。
这里给出的插图所使用的动画3D可视化是基于C++/OpenGL，使用挪威纳尔维克大学学院开发的内部库GM lib和Qt窗口处理。

MSC公司：

49升20 最优控制与微分对策中的动态规划
20年第49季度 几何测量理论环境中的变分问题
53元22角 整体微分几何中的测地学
65D07年 使用样条曲线进行数值计算
26层35 多变量函数的特殊性质、Hölder条件等。
33F05型 特殊函数的数值逼近与计算
41A05型 近似理论中的插值
41甲15 样条线近似
41A30型 其他特殊函数类的近似
41A55型 近似象限
41A63型 多维问题
53A04号 欧氏空间和相关空间中的曲线
53A05型 欧氏空间和相关空间中的曲面
65D05型 数值插值
65D17号 计算机辅助设计（曲线和曲面建模）
65D18天 计算机图形、图像分析和计算几何的数值方面
65年20月 数值算法的复杂性和性能
68单位05 计算机图形；计算几何（数字和算法方面）
2007年8月 计算机辅助设计的计算机科学方面

关键词：

地方的;全球的;优化;离散时间;连续时间;动力系统;变分微积分;最优控制;贝尔曼最优原理;动态规划;直接优化法;成本效益的;非光滑;利普席茨;尖头的;不连续的;计算复杂性;网格细化，分辨率容差;多重网格;三角测量;参数曲线;参数化曲面;计算机辅助几何设计;全球测地线;数值积分;稳定性;敏感;稳健性;小扰动

引文：

Zbl 1126.90073号;Zbl 1156.90454号

软件：

GM_标签;OpenGL（OpenGL）
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\textit{L.T.Dechevsky}等人，《国际法学杂志-纯粹应用》。数学。51，第4号，475--503（2009；Zbl 1170.49025）