丹尼尔·S·弗里德。;凯伦·尤伦贝克（Karen K.Uhlenbeck）。 瞬时和四流形。 （英语） Zbl 0559.57001号 数学科学研究所出版物，第1卷。纽约等：施普林格出版社。十、 232 p.48.00德国马克；$17.50 (1984). 这本书是新的斯普林格系列丛书《数学科学研究所出版物》（伯克利）的第一本，是1982-1983年在该研究所举行的一次研讨会笔记的精练版本。它提供了一个带有S.Donaldson定理注释的证明，其大意是，“如果确定，简单连通定向4流形的交集形式是标准的（即流形定向协定向到复射影平面的连通和）”。结合主要由M.Freedman提出的一些拓扑参数，该定理导致拓扑空间（{mathbb{R}}^4）上存在非标准可微结构如果我们回顾一下证明的各种成分是如何产生的，那么这个惊人的结果可以被视为数学家最近对杨-米尔理论的兴趣的一个特殊回报，杨-米尔是一个对理论物理学家来说非常重要的变分问题（主要是因为它为一些量子现象提供了经典模型）。实现所寻求的协边性的5流形是这个变分问题的模空间（{mathcal M}），当适当地设置在流形上最简单的非平凡（SU_2）-丛上的连接空间上时，该变分问题解的最小化。自阿提亚·希钦·辛格（Atiyah-Hitchin-Singer）的工作以来，人们对这个空间的局部结构（如果不是空的话）有了很好的理解。Donaldson的主要贡献是给出了（{mathcal M}）的整体结构的完整描述，该方法的关键步骤是C.Taubes的自对偶连接存在定理以及K.Uhlenbeck的一些正则性和紧性定理。至少有三个数学领域（拓扑、微分几何和分析）在证明中相互作用。这些笔记旨在向读者介绍所有这些笔记。快速查看目录（见下文）可以看出，在这方面已经做出了巨大的努力。我们在此复制目录：引言；词汇表；§ 1. 伪造\（{\mathbb{R}}^4\）；§ 2. Yang-Mills方程；§ 3. 连接歧管；§ 4. \（{\mathbb{C}}P^2\）上的圆锥；§ 5. 定向能力；§ 6. 陶布斯定理简介；§ 7. 陶布斯定理；§ 8. 压实度；§ 9. 科勒定理；§ 10. 芬图舍尔和斯特恩的技术；4月。A.Sobolev规范变换群；4月。B.Pontryagin-Thom结构；4月。C.韦岑伯克公式；亚太地区。D.奇异点的可移除性；4月。E.拓扑备注。下面是对这本书内容的更详细的回顾。它以一个受欢迎的介绍开始，提供了对所呈现结果的影响的一些观点，并概述了每一章的内容。第1、5和10章以及附录B和E提供了必要的拓扑成分。在第一章中，我们概述了Donaldson的结果如何导致在（{mathbb{R}}^4）上存在非标准可微结构。模空间（{mathcal M}）的可定向性需要讨论映射到（S^3）的同伦类和规范群作用的拓扑性质（第5章和附录B）。有关交叉形式和线束分类的一般事实，请参见附录E。第10章描述了Fintushel和Stern的结果，他们通过使用（SO_3）而不是（SU_2-束和较少的分析，也能够排除一些积分二次型作为可微定向4-流形与有限基本群的交集形式。微分几何设置在第2章、第4章和附录C以及第6章的部分中进行了描述。第二章介绍了杨美尔泛函方程和杨美尔方程。第四章通过对基本椭圆复数的讨论，给出了奇点附近模空间（{mathcal M}）的局部描述。附录C讨论了Weitzenböck公式，将向量值形式上的拉普拉斯算子与所谓的粗糙拉普拉斯因子联系起来。这些是通过Bochner技巧获得消失定理的基础。第6章的前半部分通过四元数微积分给出了杨-米尔斯方程在\（S^4\）上的瞬子解的基本族，这些瞬子解在整个证明过程中都是通用模型。最长的发展致力于证明的分析方面。这确实是最微妙的部分，需要在非线性PDE理论中使用精细的技术；第三章（连同第六章的后半部分）包含了杨美尔方程弱形式的泛函分析设置。这包括一个切片定理，它是研究规范群对连接空间作用的基础。（这在附录A中再次提及。）第7章描述了Taubes存在定理的简化证明。新的思想是，在球的中心处，基流形的度量被炸毁后，通过连续性方法获得自对偶连接，球上的标准瞬子溶液被嫁接在该球上。这是可能的，因为Yang-Mills泛函的维数4具有保角不变性。（附录D中也使用了相同的思想来简化K.Uhlenbeck的点奇异性可移除性定理。）方程的保角不变性还与解空间缺乏紧性有关，与问题的弱形式中出现限制Sobolev指数有关。这是第八章的主题，其中研究了模空间（{mathcal M}）的非紧部分。文中详细介绍了所使用的分析论点。这导致在第9章中出现了衣领定理，该定理将（{mathcal M}）中的无穷大邻域描述为基流形与开区间的乘积。这本书当然可以在各个层面上使用，既可以作为规范理论的入门（也可以作为几何感兴趣的非线性偏微分方程），也可以帮助组织一次关于唐纳森定理和随后规范理论在拓扑中的壮观应用的研讨会。很明显，许多潜在读者都在努力方便他们阅读这本书。他们应该会成功。文字处理器生成了一个可读的文本，虽然不是很漂亮。（尤其是斜体字看起来很难看。）这些图纸本可以做得更仔细一些，但它们并没有误导人。似乎只有几处印刷错误。（评论家发现的唯一严重的问题是215页引理D.2的证明中的一个反向不等式。）总而言之，这一新系列的良好开端！审核人：J.P.布尔吉尼翁 引用于8评论引用于197文件 MSC公司： 57-02 关于流形和细胞复合体的研究展览会（专著、调查文章） 58-02 与全球分析相关的研究展览（专著、调查文章） 53-02 与微分几何有关的研究博览会（专著、调查文章） 53二氧化碳 联系（一般理论） 57N13号 欧氏空间、流形的拓扑（MSC2010） 57兰特 流形上的代数拓扑与微分拓扑 11E16号机组 一般二元二次型 58J10型 微分络合物 58J20型 流形上的指数理论及相关不动点定理 58D05型 微分同胚群和同胚流形 58E15型 关于多变量极值问题的变分问题；Yang-Mills工作人员 58J60型 PDE与特殊流形结构（黎曼、芬斯勒等）的关系 55兰特 代数拓扑中的光纤束 55季度45 球面的稳定同伦 关键词：单连通定向四流形的交集形式;杨·米尔斯理论;连接空间;自双连接;索波列夫规范变换群;Pontryagin-Thom结构;韦岑伯公式;\（{\mathbb{R}}^4\）上的非标准可微结构;模空间;椭圆复数;Yang-Mills方程的瞬子解 PDF格式BibTeX公司 XML格式