约翰·康威（John B.Conway）。 数学联系。压轴课程。 （英语） 邮编：1220.00001 普罗维登斯，RI：美国数学学会（AMS）（ISBN 978-0-8218-4979-8/pbk）。十七、243页。(2010). 这是一本不寻常的书：一本关于数学的书，但不涉及该学科的任何具体的高级或初级分支。它从极低的学科水平开始，然后上升到处理几个专业分支中的许多高级主题。作者的使命被明确地表述为揭示数学各分支之间的相互联系，而这往往是许多人无法清楚观察到的。在教授了五十多年的数学之后，在本科生和研究生水平的课程中，作者观察到，许多学生不仅在他们还是学生的时候，而且在许多情况下，后来也没有意识到数学各分支之间的相互联系。大概这促使作者写了一本书来展示它们之间的相互联系和美丽。评论员会欣然同意，这是一个值得称赞的目标。作者希望他的书能弥补他创作这本书时的不足；他怀疑这种补救措施是否会被常规规定，如果规定，是否会被应用？我们听过一句古老的格言“你可以坐以待毙，……”尽管如此，到目前为止，评论家还是希望这本书能得到广泛的认可、赞誉、赞赏和认可，这是它理所当然应该得到的。多年来，数学读者对这位作者所期望的结合、精确、清晰和简洁的独特风格也是本书的特点。前三章以“历史笔记”结束，其中概述了其中提到的一些数学家的传记。本书以七个附录结尾，正如作者所说，这些附录“是为了为他们的主题设定一个起点”。关于“三等分角”的第1章从基本几何概念开始，例如将给定角度等分的“标尺和罗盘构造”等，回到欧几里德的《元素》。这样的开始看似谦虚，作者很快发展了必要的代数，以证明仅使用尺子和指南针就不可能将给定角度三等分。第二章讨论组合学、图论和地图着色问题。这里可以找到一些结果，例如欧拉著名的定理，该定理给出了三维凸多面体的顶点、边和面数的公式，以及三维正多面体正好有五个正多面角的定理，等等。此外，还对地图着色问题进行了详细的讨论，包括长期存在的四色猜想，据报道，该猜想于1976年通过不可避免的计算机相关程序得到了证明。第三章介绍了有限维希尔伯特空间的基本几何，包括空间之间线性映射的性质，此类映射的伴随，它们的矩阵表示等。包括表征线性泛函的基本Riesz表示定理。在可能的情况下，给出了这些结果，而没有必要使用有限维，以便它们也能覆盖无限维空间，而不作任何修改。第四章讨论希尔伯特空间上自共轭或正规算子的谱定理及其应用。提出的两个不寻常的应用是标准高级微积分问题（1）关于二次曲面的主轴定理，以及（2）多个实数变量的二次可微实值函数的奇点分类。这是一种新颖的方法，有助于显示通常不被视为相关的两个不同数学分支之间的联系。本章讨论的其他主题包括：复Hilbert空间（当然是有限维）上正规算子的泛函演算和Hermitian算子的酉等价概念。第五章从（n）维方阵空间上的度量空间拓扑开始，其中矩阵对之间的距离定义为其差分矩阵的算子范数。讨论了方阵空间可逆元的一般线性群，并研究了该群作为方阵空间子空间的拓扑性质。本章最后研究了酉矩阵的特殊性质。第六章是这本书最长也是最后一章。事实上，作者指出，附录中的存在理由基本上就是这一章，因此这一章的长度几乎占全书的45%。本章广泛而深入地讨论了纯代数概念，如群、环、模等，以及它们之间的同态。本章将找到众所周知的结果，如Schur引理、Artin-Wedderburn定理、扭转模的结构定理等。然而，这里的主要研究对象似乎是希尔伯特空间上线性算子集合的环理论结构。审核人：Ramankutty Menon（罐头谷） MSC公司： 00A05号 一般数学 00A09号 数学普及 05-01 与组合学有关的介绍性说明（教科书、教程论文等） 16-01 关于结合环和代数的介绍性说明（教科书、教程论文等） 46-01 与函数分析相关的介绍性说明（教科书、教程论文等） 47-01 与算子理论相关的介绍性说明（教科书、教程论文等） 51-01 与几何学有关的介绍性说明（教科书、教学论文等） 52-01 关于凸几何和离散几何的介绍性说明（教科书、教程论文等） 关键词：角三等分问题;地图着色问题;希尔伯特空间;伴随词;赫密特操作员;光谱表示法;矩阵上的拓扑;戒指;模块;组 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.B.Conway}，数学联系。顶级课程。普罗维登斯，RI:美国数学学会（AMS）（2010；Zbl 1220.00001）