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彼得·阿策尔

关于关联类型理论和集合理论。 （英语） Zbl 0944.03056号

Altenkirch，Thorsten（编辑）等人，《证明和程序的类型》。98型国际研讨会。Kloster Irsee，德国，1999年3月27日至31日。精选论文。柏林：斯普林格。莱克特。注释计算。科学。1657, 1-18 (1999).
引言：本文所述工作的最初动机是确定Lego和Coq证明开发系统中实现的类型理论的证明理论强度。这些类型理论将结构演算中的非指示型命题与Martin-Löf的构造类型理论中的归纳类型和类型宇宙层次相结合。直观地说，有一种简单的方法可以确定证明理论强度的上限。这是为了在足够强大的经典公理集理论中使用这些类型理论的“明显”类型作为集的解释。Martin-Löf类型理论的类型的基本形式有其熟悉的集合理论解释，非指示类型的命题可以解释为二元集合，类型宇宙的层次可以用相应的强不可及基数层次来解释。这些基数存在的假设超出了ZFC的证明理论强度。但马丁·洛夫的类型理论，即使有其W类型和宇宙层次结构，也不是完全没有说服力的，其证明理论的强度远低于二阶算术。因此，尚不清楚是否真的需要在上限中使用强不可访问基数。当然，非指示型命题确实给出了一个完全非指示型理论，它无疑将证明理论的力量提升到集合理论，即（text{Z}^-\），其力量远高于二阶算术。类型宇宙的层次结构将明显导致一些进一步的强化。但有必要超越ZFC以获得上限吗？
也许令人惊讶的是，几乎没有系统地研究过类型as集的解释。因此，本文的主要目的是展开这样一项系统的研究。在第2节中，我们首先介绍了类型理论（text{MLW}^{text{ext}}）的TS解释的一些细节，该类型理论是Martin-Löf的扩展类型理论的重新表述，具有W类型，但没有类型宇宙。这种解释是在标准公理集理论ZFC中进行的，因此给出了（text{MLW}^{text{ext}}）到ZFC的证明理论约简。当然，这个结果太粗糙了，我们接下来描述两种获得更好结果的方法。
第一种方法是通过添加排除中间律的自然公式，使类型理论成为经典。结果表明，为了进行解释，我们需要通过添加选择公理的全局形式来加强集合论，并且我们得到了（text{MLW}^{text{ext}}+\text{EM}）到ZFGC的证明理论约简。幸运的是，我们知道强化集理论并不是证明理论上更强的，因此我们得到了ZFC的（text{MLW}^{text{ext}}+\text{EM}）约简。
第二节以第二种方法结束，即用基于直觉主义逻辑而非经典逻辑的构造集理论取代经典集理论。因此，我们得到了\（\text｛MLW｝^｛\text｛ext｝｝｝\）到\（\text｛CZF｝^+\）的约简。
在第3节中，我们扩展了第2节的结果，首先添加了一个反映类型\（\text{MLW}^{text{ext}}\）形式的类型宇宙，然后添加了此类类型宇宙的无限累积层次结构。为了将TS解释扩展到结果类型理论，我们在经典集合论中使用EM类型理论的强不可及基数，在构造集合论中，使用由M.Rathjen先生,E.R.格里弗和E.帕尔姆格伦【Ann.Pure Appl.Log.94，No.1-3，181-200（1998；Zbl 0926.03074号)]. 最后，在第3节中，我们为结构演算的非指示型命题制定了具有规则的类型理论，并制定了相应的构造集合理论公理，并再次描述了这些类型理论如何将TS解释为相应的集合理论。
在第4节中，我们简要描述了CZF在类型理论MLWU中的集为树解释是如何扩展到其他集合理论的，并用额外的类型宇宙对相应的类型理论进行了约简。幸运的是，每一个具有无限层次的类型宇宙的类型理论都得到了证明——理论上与在顶部添加类型宇宙的模式理论一样强大，因此，我们最后的结果表明，对于我们认为具有无限层次的类型宇宙的每一个类型理论，都有一个具有相同证明理论强度的相应集合理论。特别是类型理论{MLWPU}_{<\omega}）是我们对乐高和库克中实现的类型理论的近似，与集合理论具有相同的证明理论强度{pu}_{<\omega}\）。这最后一个结果并没有解决激发我们工作的最初问题，因为集合论是不熟悉的。尽管如此，我认为这确实为解决这个问题提供了新的思路。新的集合论是一个有趣的理论，我计划在未来的场合展示一些关于它的结果。
关于整个系列，请参见[Zbl 0929.00065号].

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MSC公司：

03楼50 构造系统的元数学
03E70型 非经典和二阶集合论
03年3月 一般证明理论（包括证明理论语义）
03B70号 计算机科学中的逻辑
03B35型 证明和逻辑操作的机械化
35楼03号 二阶和高阶算术和片段

关键词：

验证理论强度;验证开发系统Lego和Coq;建构型理论;types-as-sets解释;构造集合论;类型universe;经典集合论;无法接近的红衣主教;无法访问的集合;构造微积分;sets-as-trees解释

引文：

Zbl 0926.03074号

软件：

乐高;Coq公司
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{P.Aczel}，莱克特。注释计算。科学。1657年1月18日（1999年；Zbl 0944.03056）