罗尔夫·伯恩特 线性组的表示。根据物理学和数论的例子进行的介绍。 （英语） Zbl 1135.22001年 威斯巴登：Vieweg（ISBN 978-3-8348-0319-1/pbk）。xii，270页。(2007). 这是对实矩阵群和复矩阵群表示理论的一个初步介绍。本文是为数学和物理专业的学生编写的，他们对微分/积分有很好的知识，并且熟悉代数、数论和复数分析的基本事实。目的是介绍表征理论的基本概念，描述它们之间的联系，并解释它们的一些背景。重点是在物理和数论应用中特别感兴趣的群（例如Gell-Mann的八重方式和θ函数，自守形式）。读者可以从不同的角度找到大量详细介绍的例子。这些例子激发了现有文献已经涵盖的一般理论。因此，对于大多数基本陈述和定理的完整证明，读者通常参考标准来源。课文中包含了许多练习。其中一些练习和/或省略的证明可能为学士论文和硕士课程的进一步学习提供起点。在第0章“序言：一些群及其作用”中，作者修正了一些关于群及其作用的符号，这些符号后来用作第一个例子，即实数和复数上的一般线性群和特殊线性群以及正交群和酉群。此外，作者还提出了元素置换的对称群（mathfrak S_n）及其结构的一些事实。作者停留在非常初等代数的层次上，坚持这一原则，仅在表示理论发展需要时才从群论中引入更多的一般概念和细节。作者在第1章“基本代数概念”中遵循了这一原则，其中仅使用线性代数中的工具介绍了线性表示的概念。作者定义并讨论了等价性、不可约性、酉性、直和、张量积、特征等基本概念，并给出了一些例子。到目前为止发展的理论在第2章“有限群的表示”中得到了应用。作者发现所有不可约表示都可以单位化，并包含在正则表示中。在下一步中，作者将继续讨论紧凑型组。为了做到这一点，他放弃了纯粹的代数基础，并考虑了拓扑因素。因此，在第3章“连续表示”中，定义了拓扑和（实或复）线性群的概念，这是文本的中心概念。在此基础上，作者通过添加通常的连续性条件来改进群表示的定义。作者试图尽可能地从有限群接管到紧群。这需要在具有（从现在起）连续群作用的空间上引入不变测度，以及关于这些测度的积分概念。在第四章“紧群的表示”中，证明了不可约表示又是可酉的、有限维的、由其特征固定的、包含在正则表示中的。但是，与有限群的情况相比，它们的数量通常不是有限的。作者陈述但未证明Peter-Weyl定理。为了获得令人信服的画面，他通过再现维格纳对SU（2）和SO（3）表示法的讨论来说明这一点。证明了SU（2）是SO（3）的双覆盖。角动量、磁性和自旋量子数出现了，但为了进一步应用于原子光谱理论，作者参考了物理文献。在很短的第5章“阿贝尔群的表示”中，作者收集了一些关于局部紧阿贝尔群的表示的材料。作者很容易得到每个酉不可约表示都是一维的结果。但从示例中可以看出，它们的数量不必是可数的。为了将给定的可约表示分解为不可约的直接积分，需要进行比作者在本阶段提供的更多的函数分析，这里不考虑这个概念。在开始讨论其他非紧群的表示之前，第6章介绍了表示分类的重要工具“无穷小方法”。首先，作者解释了什么是李代数，以及如何将李代数与给定的线性群相关联。主要成分是矩阵指数函数及其性质。作者还简要地反映了李代数表示的概念。在这里，作者又是在纯粹的代数基础上，至少在示例中，很容易获得基础。作者首先通过定义给定群表示法的派生表示法（d\pi）来给出示例。作者对海森堡群的薛定谔表示和SU（2）的标准表示（\pi_1）这样做。然后，他通过对李代数的所有（可积）表示的描述，集中讨论了（text{SL}（2，mathbb R））的所有酉不可约表示的分类。完成这项工作后，作者再次考虑了例子（{mathfrak{su}}（2））和（text{heis}（mathbbR））（将它们与谐振子理论联系起来），并给出了一些关于半单李代数一般结构理论的提示。考虑到李SU（3），在一定程度上解释了一般分类理论的工作方式；夸克是如何出现的，我们已经看到了。在第7章“诱导表示”中，作者引入了诱导表示的概念，它允许从（G）的子群（H）的（可能是一维）表示开始，构造给定群（G）（有时是无限维）的表示。为了完成这项工作，作者再次需要更多的希尔伯特空间理论，并在具有群作用的空间上引入了拟变测度。作者通过考虑海森堡群和（G=\text{SU}（2））的例子来说明这一点，其中重新发现了已知的表示。然后，他使用归纳过程为（text{SL}（2，mathbbR））和（text{SL}（1，mathbb C））的幺正表示构建模型。特别地，它显示了全纯归纳是如何在讨论（text{SL}（2，mathbb C））的离散级数时产生的（这里作者涉及复函数理论）。插入对Lorentz群（G^L=text{SO}（3,1）^0）的简要讨论，证明了（text{SL}（2，mathbb C））是（G^L）的双覆盖。为了得到讨论Poincaré群表示的框架，该群是Lorentz群与（mathbb R^4）的半直积。如果一个因子是阿贝尔的，则给出了分类和构造半直积不可约表示的方法。作者没有证明这个过程的一般有效性，因为Mackey的非本原性定理超出了本书的范围，但他将其应用于确定欧几里德群和庞加莱群的酉不可约表示，这是基本粒子分类的基础。在第8章“几何量化和轨道方法”中，作者通过轨道方法构造表示，对第7章中的一些材料采取了另一种方法。在这里，他回顾（或介绍）了高等分析中的更多概念：流形和丛、向量场、微分形式，特别是辛形式的概念。作者再次使用了示例（G=\text{SL}（2，mathbb R））、SU（2）的信息和知识和海森堡小组了解一下这里应该做什么。某些球面和双曲面被识别为各自群的共伴轨道，并构造了这些轨道上的线丛和由这些线丛的极化部分组成的表示空间。在第9章“数论展望”中，简要介绍了数论中表示法的一些例子。作者提出了自守表示的概念（以基本形式），并解释了它与θ函数和自守形式的关系。考虑了Theta函数和海森堡群、Theta函数和雅可比群、模形式和SL（2，（mathbb R））、代数数论元素、Hecke函数和Artin（L）-函数，并提出了Artin猜想。审核人：瓦西里·切尔内基（敖德萨） 引用于12文件 理学硕士： 2001年2月22日 关于拓扑群的介绍性说明（教科书、教程论文等） 11楼70 表征理论方法；局部域和全局域上的自守表示 81V45型 原子物理学 22E50型 局部域上Lie和线性代数群的表示 22E70型 李群在科学中的应用；显式表示 关键词：有限群的表示;连续表示法;紧群的表示;abel群;无穷小方法;归纳表示法;几何量化;轨道法;海森伯群;雅可比群;数论;原子光谱;谐振子;对称方案;强子;夸克;八倍路程;自守表示;模块化形式;θ函数;赫克的（L）函数理论;算术\（L\）-函数 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{R.Berndt}，线性群的表示。以物理学和数论中的例子为基础的介绍。威斯巴登：Vieweg（2007；Zbl 1135.22001）